Előzetes tudás
Tanulási célok
Narráció szövege
A pozitív egész kitevőjű hatvány fogalmát és a hatványozás azonosságait példákon keresztül még általános iskolában megtanultad. Később, középiskolában bővültek az ismereteid: megismerkedtél a valós számok 0. és negatív egész kitevőjű hatványaival. A hatványozás azonosságai a kiterjesztés után is érvényben maradtak. Például 2−3⋅2−4 (ejtsd: 2 a mínusz harmadikon szorozva 2 a mínusz negyedikennel) a negatív kitevőjű hatvány definíciója alapján 123⋅124 (ejtsd: 1 per 2 a harmadikon szorozva 1 per 2 a negyediken) Ha összeszorozzuk a számlálót a számlálóval, a nevezőt pedig a nevezővel, majd ismét alkalmazzuk a negatív egész kitevőjű hatvány fogalmát, 2−7-t (ejtsd: 2 a mínusz hetedikent) kapunk. Tehát érvényes az az azonosság, hogy azonos alapú hatványok szorzásakor az alapot a kitevők összegére emeljük.
Bővítsük tovább a hatvány fogalmát! Nézzük meg, hogyan értelmezhetjük a racionális kitevőjű hatványokat úgy, hogy a hatványozás azonosságai továbbra is érvényesek legyenek!
Tudjuk, hogy 21=2, 22=4. Mivel egyenlő 232? (ejtsd: 2 a háromkettediken) Mivel a 2 pozitív szám, pozitív megoldást keresünk. Ha a keresett számot négyzetre emeljük, a hatvány hatványozására vonatkozó azonosság szerint az eredmény 23. (ejtsd: 2 a harmadikon) Melyik pozitív szám négyzete a 23? Erre a kérdésre a négyzetgyök definíciója szerint 23 négyzetgyöke a válasz. Ha két pozitív szám négyzete egyenlő, akkor ezek a számok egyenlők. Azt kaptuk, hogy 232=√23. (ejtsd: 2 a háromkettediken egyenlő négyzetgyök alatt 2 a harmadikonnal)
Eredményünket általánosíthatjuk. Az a pozitív szám pq (ejtsd: p per q)-adik hatványa az a szám p-edik hatványának q-adik gyöke. A racionális kitevőjű hatványt csak pozitív alap esetén értelmezzük.
Számítsuk ki a következő hatványok értékét! A most tanult definíció mellett a gyökvonás egyik azonosságára van szükség.
Ebben a feladatban a negatív egész kitevőjű hatvány fogalmát is alkalmazzuk.
A racionális kitevőjű hatvány értéke általában nem egész szám. Például a bevezető feladatban szerepelt a 232=√23 (ejtsd: 2 a háromkettediken egyenlő négyzetgyök alatt 2 a harmadikonnal) szám. Ez egyenlő √8 (ejtsd: négyzetgyök alatt 8), közelítőleg 2,83. (ejtsd: 2 egész 83 század)
Számoljuk ki számológéppel ezt a hatványt! A tizedes törtet két egész szám hányadosaként írjuk fel, majd alkalmazzuk a törtkitevős és a negatív egész kitevős hatvány fogalmát. Végül hatványozunk és 5. gyököt vonunk számológéppel.
Írjuk fel egyetlen törtkitevővel ezt a számot! A megoldás során a gyökvonás egy másik azonosságát használjuk fel. A törtet lehet 2-vel egyszerűsíteni.
A racionális kitevőjű hatvány fogalmának és a hatványozás azonosságainak alkalmazásával a gyökös kifejezéseket egyszerűbb alakra hozhatjuk. Ez a szorzat például 7-nek hányadik hatványa? Ha a számológépeddel ellenőrzöd, körülbelül hat egész harmincöt ezredet kapsz. Minden gyököt a gyökkitevő reciprokával egyenlő kitevőjű hatványként írhatunk. Felhasználjuk a hatvány hatványozására és az azonos alapú hatványok szorzására vonatkozó azonosságokat. A törtek összegét közös nevezővel számoljuk ki.
Betűs kifejezéseket is egyszerűbb alakra tudunk hozni ezzel a módszerrel. Például ezt a hányadost írjuk fel egyetlen hatványként! Az eddigiekhez hasonlóan oldjuk meg a feladatot. Az utolsó lépésben az azonos alapú hatványok osztására vonatkozó azonosságot alkalmazzuk.
Az egész kitevőkre értelmezett hatványozást kiterjesztettük racionális kitevőkre úgy, hogy az egész kitevők esetén érvényes azonosságok érvényesek maradtak a törtkitevőkre is. Az ilyen jellegű követelményt a matematikában permanenciaelvnek nevezzük.
Kapcsolódó fogalmak
Ajánlott irodalom
Sokszínű matematika 11., Mozaik Kiadó, 74–79. oldal
Matematika 11. évfolyam, Tanulók könyve, 1. félév, Educatio Kht., 2008, 74–78. oldal