Mértani sorozatok a hétköznapokban

Egy trópusi lián hossza minden héten a másfélszeresére nő. Hány méter hosszú lesz 6 hét múlva, ha most 160 centiméteres? Vegyük észre, hogy a lián hossza egy mértani sorozat szerint változik. A sorozat első tagját és kvóciensét ismerjük. Hányadik tagját keressük? Vigyázz, nem a hat a helyes válasz! A kezdeti hossz az első tag, a hossz egy hét múlva a második tag, két hét múlva a harmadik tag, és így tovább, tehát hat hét után a sorozat hetedik tagját kapjuk. Az n-edik tag képletébe kell behelyettesítenünk.
Hány hét alatt nő meg ez a növény 40 méter hosszúra? Most azt keressük, hogy a mértani sorozat hányadik tagja negyven méter, azaz 4000 centiméter. A képletbe behelyettesítve exponenciális egyenletet kapunk. Ha a 4000-et elosztjuk 160-nal 25-öt kapunk. Azt, hogy hányadik hatványa a másfélnek a 25, akkor tudjuk kiszámolni, ha az n-et valahogy „levarázsoljuk” a kitevőből. Ezt úgy tudjuk elérni, ha vesszük az egyenlet mindkét oldalának a tízes alapú logaritmusát. A logaritmus egyik azonossága szerint a hatvány logaritmusa egyenlő a kitevőnek és az alap logaritmusának a szorzatával. „Enre” így nyolc egész kilenc-tizedet kapunk. Azonban „en” értéke csak pozitív egész szám lehet, így a kapott értéket kilencre kerekítjük. Figyelembe véve, hogy a kezdeti hossz a sorozat első tagja, a válaszunk a kérdésre az, hogy 8 hét alatt éri el a lián a 40 méteres hosszúságot.
Bence, Dorián és Marci a helyi focicsapatban játszanak. A bajnokság végén megbeszélik, ki hány gólt lőtt összesen. Marci észreveszi, hogy a három szám egy mértani sorozat három egymást követő eleme. Bence szerezte a legkevesebb gólt, négyet, Dorián rúgta a legtöbbet, és tudjuk, hogy hárman együtt 19-szer találtak be a kapuba. Hány gólt lőtt Dorián és Marci?
Felírjuk az adatokat. A 4 a mértani sorozat első tagja, az első három tag összege 19. A második és harmadik tagot keressük. A kiszámításukhoz szükség van a kvóciensre, először ezt határozzuk meg! Ha csak két-három tag összege van megadva, nem érdemes az összegképletet használni. Másodfokú egyenletet kaptunk, nullára redukálás után alkalmazzuk a megoldóképletet! Ebben az esetben a negatív kvóciens nem jó, a gólok száma nem lehet negatív. A q tehát 1,5. Marci 6, Dorián 9 gólt lőtt az idei bajnokságban.
Biztosan te is kaptál már elektronikus „szerencselevelet”, amiben az áll, hogy ha meghatározott számú ismerősödnek továbbküldöd, akkor teljesül a kívánságod, egyébként pedig valami szörnyű tragédia vár rád. Egy ilyen levél írója először öt embernek küldte el az üzenetet és feltételezzük, hogy mindenki egy napon belül továbbküldi öt ismerősének, akik hasonlóan járnak el. Hány nap alatt kapná meg Magyarország mind a tízmillió lakosa a levelet? Számoljunk úgy, hogy senki sem kapja meg kétszer az üzenetet és nincsenek külföldi címzettek! Itt is mértani sorozattal állunk szemben. Ennek az első tagja és a hányadosa is 5. A tagok összege tízmillió. Az n a kérdés. Rövid átalakítás után ismét exponenciális egyenlethez jutottunk. Logaritmus alkalmazásával az n 9,9 lesz. Ez azt jelenti, hogy tíz nap alatt mindenkihez eljutna az üzenet Magyarországon. Természetesen a láncleveleket, így a szerencseleveleket sem kell továbbküldeni, a kukában a helyük.
Az utóbbi években jelentősen megnőtt az internetet használók száma Magyarországon is. 2004 és 2011 között vizsgálva az internet-előfizetések számát, jó közelítéssel mértani sorozatot kapunk. 2006 végén 1,3 millió, 2011-ben már 4,3 millió internet-előfizetés volt az országban. Hány internet-előfizetés volt 2004-ben és mennyi volt 2012 végén, ha így folytatódott a növekedés?
A 2004-es adat a mértani sorozat első tagja, ezt keressük. A 2006-hoz tartozó szám a harmadik tag, a 2011-es érték pedig a nyolcadik. Két egyenletet írhatunk fel, amelyekben az első tag és a kvóciens az ismeretlenek. A mértani sorozatos feladatokban gyakran célszerű elosztani az egyenleteket egymással. Itt is ezt tesszük. Ötödik gyököt kell vonnunk a kapott számból, ez lesz a sorozat hányadosa. Kerekítsük az eredményt századra! Ezután az első tagot úgy kapjuk meg, ha valamelyik egyenletbe behelyettesítjük a q-t. A 2012-es érték a sorozat kilencedik tagja, ezt is kiszámoljuk. A valós adat 2012-ben ennél egy kicsit több volt, 5,456 (öt egész négyszázötvenhat ezred) millió.