Vegyes térgeometria feladatok

A gömb sokak szerint a legtökéletesebb forma. A természetben, a művészetben és a hétköznapi életben is gyakran találkozunk gömb alakú tárgyakkal. A gömb felülete nem teríthető ki a síkba, elemi módszerrel nem lehet meghatározni a felszínét. Arkhimédész ókori görög matematikus, fizikus és feltaláló bebizonyította, hogy a gömb felszíne négyszerese a főkör területének. Eszerint az r sugarú gömb felszíne $4 \cdot {r^2} \cdot \pi $. Arkhimédész annak bebizonyítására volt a legbüszkébb, hogy a gömb térfogata két harmada a köréírt henger térfogatának. Az r sugarú gömb térfogata ennek megfelelően $\frac{4}{3} \cdot {r^3} \cdot \pi $. Oldjunk meg néhány gömbre vonatkozó feladatot!
Te is biztosan tudod, hogy a Föld felszínének körülbelül $\frac{2}{3}$ része, pontosan 70,8 százaléka víz. Hány ${km^2}$ a szárazföld területe, ha a bolygónkat 6380 km sugarú gömbnek tekintjük?
A szárazföld területe a Föld felszínének a 29,2 százaléka. Behelyettesítünk a felszín képletébe és az eredménynek kiszámoljuk a 29,2 %-át. A szárazföld területe a Földön tehát 149 millió négyzetkilométer.
Hány liter levegő fér egy 41 cm átmérőjű strandlabdába? Most a gömb térfogatát kell kiszámolni. Az eredményt köbcentiméterben kapjuk meg. Egy liter egyenlő 1 köbdeciméterrel. 1 dm egyenlő 10 cm-rel, és ha köbre emelünk, a váltószámot is a harmadikra kell emelni. 1 liter tehát 1000 köbcentiméter, ezért osztunk ezerrel. Azaz 36 liter levegő fér a strandlabdába.
Egy 10 cm élű fakockából a lehető legnagyobb gömböt szeretnénk kifaragni. Az anyag hány százaléka lesz a veszteség? Az a gömb a legnagyobb, amelyiknek az átmérője egyenlő a kocka élével. Ezt úgy hívjuk, hogy a kockába beírt gömb. A sugara az átmérő fele, vagyis 5 cm. Kiszámoljuk mindkét test térfogatát. A veszteség a kocka és a gömb térfogatának a különbsége. Hány százaléka ez szám a kocka térfogatának?
A százaléklábat úgy kapjuk meg, hogy a százalékértéket elosztjuk az alappal, majd ezt a hányadost megszorozzuk százzal. A veszteség a kocka térfogatának 48%-a.
Mekkora a sugara az a oldalélű kocka köré írt gömbnek? A gömb sugara a kocka testátlójának a fele. Keressünk olyan háromszöget, amelyiknek az egyik oldala a testátló! Ez a derékszögű háromszög jó lesz! Egyik befogója a kocka éle, másik befogója egy lapátló, átfogója a testátló. Ha a kocka éle a, akkor a lapátlója Pitagorasz tétele alapján $a \cdot \sqrt 2 $.
A sugár meghatározásához ismét Pitagorasz tételét alkalmazzuk. Felhasználjuk azt az azonosságot, hogy szorzatból tényezőnként is vonhatunk gyököt. Alapesetben ${a^2}$ gyöke $\left| a \right|$. Mivel az a ebben a példában egy szakasz hossza, biztosan nem negatív. Ezért nincs szükség az abszolút értékre.
Egy 15 cm magas, henger alakú pohár alapkörének a sugara 4 cm. A pohár félig van vízzel. Mennyivel emelkedik a víz magassága, ha beleejtünk egy 2 cm sugarú acélgolyót?
A pohárnak az eredeti és az új vízszint közötti része egy henger. Ennek a térfogata megegyezik a golyó térfogatával, és a magasságát keressük. A golyó térfogata meghatározható. A kapott számot egyenlővé tesszük annak a hengernek a térfogatával, amely alapkörének a sugara R, magassága x. Az x értéke 0,67 cm.
Sok érdekes, gömbbel kapcsolatos feladattal fogsz találkozni a matematikaórákon. A megoldásukhoz a gömb felszínére és térfogatára biztosan szükséged lesz.