Összefüggések a szögfüggvények között

A matematika egyik izgalmas területe, a káoszelmélet olyan események vizsgálatával foglalkozik, amelyeknek az időbeli lefolyása igen érzékeny a kezdeti feltételekre. Bizonyára te is hallottál már a pillangóhatásról, vagy netán olvastál, filmet láttál róla. A káoszelmélet összefüggései nagyon bonyolultak, és sokszor csak valószínűségi kapcsolatok vannak az egymást követő események között. A mindennapi élet dolgai szerencsére nem ennyire bonyolultak, sok összefüggést könnyen átlátunk, sokat meg is tanulunk. Erre a képességre neked is nagy szükséged van. Ha több kapcsolatot ismersz, több összefüggést látsz meg, akkor gyorsabban tájékozódsz, előre láthatod a változtatások hatását, kedvezőbb döntéseket hozhatsz. Ezért is célszerű törekedni az összefüggések minél teljesebb megismerésére. A matematikában különösen igaz ez a kijelentés.
Ebben a tanegységben a trigonometria néhány belső kapcsolatára derítünk fényt. Ennek nyomán átláthatóbbá válik a rendszer. Fogjunk hozzá!
Három szögfüggvénnyel ismerkedtél meg korábban: a szinusszal, a koszinusszal és a tangenssel.
Kezdetben csak a hegyesszögekre értelmezted ezeket, mégpedig a derékszögű háromszög oldalainak arányával.
A trigonometria legelső összefüggéseit is ezekből a definíciókból vezetted le. A ${\rm{tg }}\alpha $ kifejezhető a másik két szögfüggvénnyel, hiszen $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ (ejtsd szinusz alfa per koszinusz alfa) éppen az$\frac{a}{b}$ (ejtsd: a per bé) hányadossal egyenlő.
A másik fontos összefüggés a Pitagorasz-tételre épül. Ezt felhasználva az is könnyen belátható, hogy minden hegyesszög esetében fennáll a ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ (ejtsd: szinusz négyzet alfa meg koszinusz négyzet alfa egyenlő 1) összefüggés.
Már ebből is világos, hogy igazából egyetlen szögfüggvény is elegendő lenne az egész trigonometriához. Nézzük ezt egy példán! A ${36,87^ \circ }$ (ejtsd: 36 egész 87 század fok) szinusza a számológép szerint 0,6. (ejtsd: nulla egész 6 tized) Ez az egyetlen szám elég ahhoz, hogy számológép nélkül megmondd a szög koszinuszát és a tangensét is.
A hegyesszögekre érvényes két azonosság akkor is igaz marad, ha tetszőleges szögről van szó. Nézd meg ezt egy példán! A ${130^ \circ }$ szinuszát és koszinuszát az 1 sugarú körön az origó körül ${130^ \circ }$-ot forduló P pont két koordinátájaként értelmeztük. A ${130^ \circ }$-kal elforgatott P pont esetén az első koordináta $\cos {130^ \circ }$ (ejtsd: koszinusz 130 fok), a második koordináta pedig$\sin {130^ \circ }$. (ejtsd: szinusz 130 fok) Az ábrán látható derékszögű háromszög átfogójának hossza 1 egység, ezért a Pitagorasz-tétel miatt most is igaz, hogy ${\sin ^2}{130^ \circ } + {\cos ^2}{130^ \circ } = 1$. (ejtsd: szinusz négyzet 130 fok meg koszinusz négyzet 130 fok egyenlő 1-gyel)
Ha a ${\rm{tg }}{130^ \circ }$-ra gondolsz, akkor láthatod, hogy az ábra két derékszögű háromszöge hasonló. Ezért a befogók aránya mindkét háromszögben ugyanakkora. Sőt, a szögfüggvények előjele is lehetővé teszi azt a következtetést, hogy $\frac{{\sin {{130}^ \circ }}}{{\cos {{130}^ \circ }}} = {\rm{tg }}{130^ \circ }$ (ejtsd: szinusz 130 fok per koszinusz 130 fok egyenlő tangens 130 fokkal).
A hegyesszögekre igaznak talált két összefüggés tehát minden esetben igaznak bizonyuló azonosság.
A számtalan kapcsolat közül még kettőt érdemes kiemelni. Ezek egy szög és a kiegészítő szögének a szinuszáról és koszinuszáról szólnak.
Nézzük például az ${54^ \circ }$-os szög és a ${126^ \circ }$-os szög szinuszát és koszinuszát! Az ábrán a ${126^ \circ }$-kal elforgatott P és az ${54^ \circ }$-kal elforgatott $P'$ pont egymásnak tükörképe az y tengelyre nézve. Ezért máris megállapíthatod, hogy $\sin {54^ \circ } = \sin {126^ \circ }$ (ejtsd: szinusz 54 fok egyenlő a szinusz 126 fokkal) és hogy $\cos {54^ \circ } = - \cos {126^ \circ }$. (ejtsd: koszinusz 54 fok egyenlő a mínusz koszinusz 126 fokkal)
A most tapasztalt összefüggés minden esetben igaz, azonosságot fejez ki. A szögnek és a kiegészítő szögének mindig egyenlő a szinusza, és e két szög koszinusza egymásnak ellentettje.
Figyeld meg, hogy az összefüggések azt is igazolják, hogy a tompaszög szinusza mindig pozitív, a koszinusza pedig mindig negatív!
Ha csak a most tárgyalt négy igaz összefüggést ismered pontosan, már akkor sem kell attól tartanod, hogy a trigonometriai feladatok megoldása során a véletlenek irányítanak téged. Te tartod a kezedben az irányítást, a pillangóhatás kizárva!