Kamatoskamat-számítás I.

Biztosan te is feltetted már a kérdést magadnak vagy a tanárodnak: mire fogom használni a későbbiekben a matematikát, miért kell egyáltalán tanulni ezt a tantárgyat? A matematika fejleszti a gondolkodást, Descartes szavaival: „hozzászoktatja a szemünket ahhoz, hogy tisztán és világosan lássa az igazságot”. Vannak azonban a tantárgynak olyan témakörei, amelyek a hétköznapi életben is hasznosak. Az egyik ilyen a kamatoskamat-számítás, amiről ebben a videóban lesz szó.
Kovács úrnak van 100000 Ft-ja, amelyet előreláthatólag négy évig nélkülözni tud. Biztonságos befektetési formát akar választani, ezért úgy dönt, hogy bankban helyezi el a pénzét. A kiválasztott bank évi 6 %-os kamatot ígér. Mennyi pénzt vehet ki Kovács úr 4 év múlva a bankból, ha év elején teszi be és minden év végén tőkésítenek?
Ha egy teljes évig a bankban van a pénzünk, akkor év végén a tőkéhez, azaz a betett összeghez hozzáadják a kamatot, példánkban a 100000 Ft 6%-át. A második évben már ez is kamatozik, a harmadik évben az első és a második évi kamat is kamatozik, és így tovább. Innen kapta a nevét ez a feladattípus. A szokásos jelölések: ${t_0}$ a tőke, p a kamatláb, ${t_n}$ az n-edik év végén felvehető összeg. Az egyes évek végén a pénz értéke a következőképpen alakul: Az első évben a kezdeti tőke kamatozik. A második évben már ${t_1}$ a tőke, ez kamatozik. Hasonlóan kapjuk meg a harmadik és a negyedik év végi értékeket is. A kapott képletbe behelyettesítjük az adatokat és így azt látjuk, hogy Kovács úr 4 év elteltével 126248 Ft-ot vehet ki a bankból. Azt, hogy mennyire érte meg ez a befektetés, az infláció, valamint a napjainkban fizetendő kamatadó és tranzakciós adó is befolyásolja.
Az előző feladat megoldása során a 4. év végén felvehető összeget számoltuk ki, de általánosan is érvényes a kapott képlet: ${t_n} = {t_0} \cdot {\left( {1 + \frac{p}{{100}}} \right)^n}$ (tn egyenlő t nullszor 1 plusz p per 100 az n-ediken). Az $1 + \frac{p}{{100}}$ kifejezést kamattényezőnek nevezzük.
A pénzintézetek különböző kamatperiódussal kínálják a termékeiket. Nézzük meg, hogyan változna a Kovács úr által felvehető összeg, ha félévente, 3 havonta, illetve minden hónap végén tőkésítenének, miközben az éves kamat továbbra is 6% lenne!
Ha fél év elteltével tőkésítenek, az egy kamatperiódusra eső kamat a 6% fele, tehát 3%, míg a fél évek száma 4-szer kettő, azaz 8. Ha 3 havonta írják jóvá a kamatot, akkor $p = \frac{6}{4} = 1,5$ és $n = 4 \cdot 4 = 16$. Abban az esetben, ha minden hónap végén tőkésítik az előző havi kamatot, akkor $p = \frac{6}{{12}} = 0,5$ és $n = 4 \cdot 12 = 48$. Mindhárom esetben behelyettesítünk a tanult képletbe. Láthatod, hogy jobban megéri egy adott éves kamat esetén rövidebb kamatperiódust választani.
Nem csak pénzügyi számításokat végezhetünk a most tanult képlet segítségével. Nézzünk két példát! A világ népessége 2011-ben elérte a 7 milliárdot. Hányan éltek a Földön 1960-ban százmillióra kerekítve, ha a népesség átlagos növekedése az eltelt időszakban 1,7 % volt évente?
1960-tól 2011-ig 51 év telt el, ez az n. Az egy egész 7 tized lesz a pé, 7 milliárd pedig a ${t_n}$ és a ${t_0}$-t keressük. Behelyettesítünk a képletbe, kifejezzük a ${t_0}$-t. Az eredmény megfelelően kerekítve 3,0 (3 egész 0 tized). Tehát 1960-ban még csak 3 milliárd ember élt a Földön.
Ha egy autó minden évben 15%-ot veszít az értékéből, akkor hányadik évben lesz az értéke az új árának a fele?
A kezdeti értéket nem ismerjük, a használt autó értékét sem, csak azt tudjuk, hogy ez utóbbi az új ár fele. Az érték csökken, emiatt a p negatív. Behelyettesítünk a képletbe, majd egyszerűsítünk ${t_0}$-lal. A keresett n a kitevőben van, ez egy exponenciális egyenlet. Úgy tudjuk megoldani, ha mindkét oldal tízes alapú logaritmusát vesszük. A hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság alapján n kifejezhető. A kérdésre az a válasz, hogy az 5. évben csökken az autó értéke a felére.
A kamatoskamat-számítás a pénzügyi számítások fontos eleme, de más területeken, például demográfiai számításokban, berendezések értékcsökkenésének kiszámításakor is alkalmazható.