Egybevágósági transzformációk

A kartográfia, azaz a térképészet tudományának feladata a Föld felszínének ábrázolása egy síklapon, a lehető legnagyobb pontossággal. Matematikai értelemben a feladatuk az, hogy a Föld minden egyes pontjához hozzárendeljék a rajzlap egy megfelelő pontját oly módon, hogy az így kapott térkép a valóságot tükrözze. Az ehhez hasonló feladatok matematikai leírása a geometriai transzformációk körébe tartozik.
Geometriai transzformációk alatt olyan egyértelmű hozzárendelést, azaz függvényt értünk, amelynek az értelmezési tartománya és az értékkészlete is ponthalmaz. A P ponthoz rendelt $P'$ pontot a P pont képének nevezzük. Ha az utcán megpillantod az árnyékodat, akkor talán felismered magad benne. A kérdés az, hogy csupán az árnyékod alapján valaki képes lenne-e agyagból megformálni téged? Nem, hiszen az árnyékod egy pontjához a tested több pontja is tartozhat, így az a hozzárendelés, ami az árnyék minden pontjához a test hozzá tartozó pontját rendeli, nem egyértelmű hozzárendelés. Más a helyzet, ha egy merev papírlappal dolgozunk. Ha a papír síkja a fénysugarakkal nem párhuzamos, és a papírlap minden egyes pontjához az árnyék megfelelő pontját rendeljük hozzá, akkor a ponthalmazok között egyértelmű hozzárendelést adunk meg.
Amennyiben a papírlapot párhuzamosan tartjuk az árnyék síkjával, akkor közelítőleg a lappal azonos képet kapunk. Ez a példa jól szemlélteti, hogy mi az az egybevágósági transzformáció. A távolságtartó geometriai transzformációt egybevágósági transzformációnak nevezzük. Vagyis ez olyan geometriai transzformáció, aminél bármely két pont távolsága megegyezik a nekik megfelelő képpontok távolságával.
A legegyszerűbb egybevágósági transzformáció az, ami a sík minden pontjához önmagát rendeli hozzá. Az ilyen transzformációt identikus transzformációnak nevezzük.
A következő transzformáció a tengelyes tükrözés. Ehhez vegyünk fel a síkon egy t egyenest, a tükrözést tengelyét! A sík minden pontjához a következő módon rendeljük hozzá a képét: Ha P pont rajta van a tengelyen, akkor a képe önmaga. Ha Q pont nem esik a tengelyre, akkor a $Q'$ a sík azon pontja, amelyre teljesül az, hogy a $QQ'$ szakasz felező merőlegese a t tengely.
A tengely pontjait, mivel megegyeznek a képükkel, fixpontoknak nevezzük. Ha egy alakzat minden pontja fixpont, akkor fixalakzatról beszélünk. Ha egy tükörtengelyre merőleges egyenest rajzolunk, akkor feltűnik, hogy bár a pontjai nem fixek, de az egyenes képe önmaga. Ebben az esetben az egyenest invariáns egyenesnek nevezzük. Amennyiben egy alakzat képe önmaga, úgy invariáns alakzatról beszélünk. A tengelyes tükrözés további fontos tulajdonsága, hogy szögtartó és távolságtartó. Ha rápillantunk egy alakzatra és annak képére, feltűnhet, hogy az alakzat körüljárási iránya megváltozik. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy az egybevágósági transzformáció irányításváltó.
Egy másik tükrözést is definiálhatunk a síkon, aminél nem egy egyenes, hanem a sík egy pontja jut kiemelt szerephez. Ehhez vegyünk fel egy O pontot a síkon, ez a tükrözés középpontja. A sík minden pontjához a következő módon rendeljük hozzá a képét: Az O ponthoz rendeljük hozzá önmagát. Minden más Q ponthoz azt a $Q'$ pontot rendeljük, amelyre teljesül, hogy a $QQ'$ szakasz felezőpontja éppen az O pont. Ez a transzformáció a középpontos tükrözés.
A transzformáció egyedüli fixpontja a középpontja. A középponton áthaladó egyenesek a transzformáció invariáns egyenesei. A középpontos tükrözés szintén szög- és távolságtartó, viszont a tengelyes tükrözéssel ellentétben irányítástartó.