Geometriai alapok

A matematika úgynevezett alapfogalmakra épül, amiket adottnak tekintünk, nem definiálunk. Az euklideszi geometria alapfogalmai a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés. Ezekről az alapfogalmakról − a hiányzó definíció ellenére is − mindannyiunkban szemléletes kép él. A pontokat az ábécé nagybetűivel, az egyeneseket kisbetűkkel, a síkokat nagybetűkkel szoktuk jelölni. Az alapfogalmakon túl szükség van olyan tételekre, amelyeket igaznak fogadunk el és nem bizonyítunk. Ezeket axiómáknak nevezzük. Ilyen például a következő állítás: „két különböző pontra pontosan egy egyenes illeszkedik”. Az alapfogalmak és az axiómák alapján fogalmakat definiálunk, tételeket mondunk ki, amelyeket be is bizonyíthatunk.
Vizsgáljuk meg, hogy a térelemek, azaz a pont, az egyenes és a sík egymáshoz képest hogyan helyezkedhetnek el! Egy pont és egyenes viszonya kétféle lehet: a pont vagy illeszkedik, ekkor a jelölése $A \in e$, vagy nem illeszkedik, jelölése $A \notin e$ az egyenesre. Egy pont és egy sík is hasonlóan helyezkedhet el egymáshoz képest, vagy illeszkedik a pont a síkra, vagy nem.
Két különböző egyenes kapcsolata már kicsit összetettebb. Ha nincs közös pontjuk, de egy síkban vannak, akkor párhuzamosak. Ha nincs közös pontjuk, de nincs közös síkjuk sem, akkor kitérőek. Ha egy közös pontjuk van, akkor metszik egymást.
Egy sík és egy egyenes lehet párhuzamos, ha nincs közös pontjuk, lehet metsző, ha egy közös pontjuk van, vagy az egyenes illeszkedhet a síkra, ekkor végtelen sok közös pontjuk van.
Két különböző sík lehet párhuzamos, ha nincs közös pontjuk, vagy metszhetik egymást egy közös egyenesben, ebben a helyzetben végtelen sok közös pontjuk van.
Fontos fogalom a félegyenes és a szög. Egy egyenest egy pontja két félegyenesre osztja. Egy pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre, úgynevezett szögtartományra (röviden szögre) osztja. A szögmérés mértékegysége az ${1^ \circ }$. A mérés során megadjuk, hogy a szög nagysága hányszorosa az egy foknak. Nagyságuk szerint a szögeket csoportosíthatjuk a következők szerint: nullszög, hegyesszög, derékszög, tompaszög, egyenesszög, homorúszög és teljesszög.
Tanulmányozzuk a szögpárokat! Ha a két szög szárai páronként párhuzamosak, akkor párhuzamos szárú szögeknek hívjuk őket. Ha száraik páronként egy irányúak, akkor egyállású szögekről beszélünk. A páronként ellentétes irányú, párhuzamos szárú szögeket váltószögeknek hívjuk, közös csúcs esetén pedig csúcsszögeknek. Ezen szögpárok közös tulajdonsága, hogy egyenlők. Vannak olyan párhuzamos szárú szögek, amelyek nem egyenlők. Ha egy-egy szögszár iránya megegyezik, egy-egy pedig ellentétes irányú, akkor a szögeket társszögeknek, illetve speciális esetben, ha közös szárral is rendelkeznek, mellékszögeknek hívjuk. Ezek 180 fokra egészítik ki egymást.
Természetesen nemcsak párhuzamos szárú szögpárokról beszélhetünk, hanem merőleges szárú szögpárokról is. Ezek szárai páronként merőlegesek egymásra. Ilyen esetekben a két szög vagy egyenlő, vagy ${180^ \circ }$-ra egészítik ki egymást.
További fontos fogalom a szakasz és a távolság. Szakasznak nevezzük az egyenesnek két pontja által meghatározott részét. A távolság a mindennapokban nem egyértelműen meghatározott fogalom: egyik városból a másikba sokféleképpen juthatunk el, különböző távokat megtéve. Vajon melyiket tekintjük távolságnak? A matematikában két pont távolságát, a két pontot összekötő szakasz hosszával definiáljuk. Ez a legrövidebb út a két pont között. A távolság jele a d. Egy fától az útig is sokfélképpen juthatunk el, különböző távokat megtéve. Viszont a pont és egyenes távolságát a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hosszával definiáljuk. Pont és sík távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza.
Két párhuzamos egyenes távolsága egy tetszőlegesen kiválasztott pontból a másik egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. Két párhuzamos sík távolsága a két síkot merőlegesen összekötő szakasz hossza. Ez a legrövidebb összekötő szakasz.