Négyzetgyökös egyenletek

Az olyan egyenleteket, melyekben az ismeretlen négyzetgyök alatt szerepel, négyzetgyökös egyenleteknek nevezzük. Megoldásuk algebrai és grafikus módon is lehetséges. Nézzünk egy konkrét példát! \(\sqrt {x + 1} - 2 = 0\). (ejtsd: négyzetgyök alatt x plusz 1 mínusz 2 egyenlő 0) Mielőtt hozzáfognánk az egyenlet megoldásához, emlékezzünk! A négyzetgyök alatt csak nemnegatív szám állhat. Határozzuk meg tehát az egyenletünk értelmezési tartományát, azaz a valós számok azon legbővebb részhalmazát, amelyen az egyenletben szereplő kifejezések értelmezhetők! Az \(x + 1\) csak 0 vagy 0-nál nagyobb értéket vehet fel. Az egyenlőtlenséget rendezve azt kapjuk, hogy az x helyére csak –1 vagy ennél nagyobb szám helyettesíthető. Térjünk vissza a példához! Az egyenletek algebrai úton történő megoldása során általános cél az egyenletben szereplő ismeretlen kifejezése. A négyzetgyökös egyenletekben nehezíti ezt, hogy az ismeretlen a gyök alatt szerepel. A megoldás kulcsa tehát a négyzetgyök eltüntetése. Ezt négyzetre emeléssel érhetjük el. Mi történik, ha a négyzetre emelést az egyenlet jelenlegi formájában hajtjuk végre? A bal oldalon álló különbséget négyzetre emelve, majd a lehetséges összevonásokat elvégezve látható, hogy a problémát nem oldottuk meg, hiszen a négyzetgyök megmaradt. Ezt kiküszöbölhetjük, ha úgy rendezzük az egyenletet, hogy a négyzetgyök önállóan szerepeljen az egyenlet egyik oldalán. Mivel az egyenlet mindkét oldala nemnegatív, a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás. A kapott egyenletet x-re rendezve 3 adódik. Az eredmény helyes, hiszen eleme az értelmezési tartománynak, illetve visszahelyettesítve kielégíti az egyenletet.
Lássuk a példa grafikus megoldását! Tekintsünk úgy az egyenlet bal oldalára, mint egy függvényre. Ekkor a feladat csupán az, hogy megkeressük, a \(\sqrt {x + 1} - 2\) (ejtsd: négyzetgyök alatt x plusz 1 mínusz 2) függvény hol vesz fel 0 értéket. Ábrázoljuk a függvényt koordináta-rendszerben! A függvény az \(x = 3\) helyen metszi az x tengelyt, azaz itt vesz fel 0 értéket, így az egyenlet megoldása\(x = 3\).
Nézzünk még egy példát! \(\sqrt {x - 1} = x - 3\). (ejtsd: négyzetgyök alatt x mínusz 1 egyenlő x mínusz 3) Először oldjuk meg algebrai úton! Az egyenletnek csak akkor van értelme, ha \(x - 1\) nagyobb vagy egyenlő, mint 0. Ebből az értelmezési tartományra \(x \ge 1\) (ejtsd: x nagyobb vagy egyenlő, mint 1) adódik. Vizsgáljuk tovább az egyenletet! A négyzetgyök definíciójából következően az egyenlet bal oldalán álló kifejezés csak nemnegatív értéket vehet fel, viszont, például $x = 2$ esetén, a jobb oldal lehet negatív is. Az egyenletnek csak akkor lehet megoldása, ha a jobb oldali kifejezés értéke is nemnegatív, azaz nagyobb vagy egyenlő, mint 0. Ebből egy újabb feltételt kapunk: x-nek nagyobb vagy egyenlőnek kell lennie, mint 3. A fenti megfontolások után a négyzetre emelés már ekvivalens átalakítás. Végrehajtása után a kapott egyenletet rendezzük 0-ra, és oldjuk meg! Az egyenlet gyökeire 5 és 2 adódik. A 2-t kizárja a gyökökkel szemben támasztott \(x \ge 3\) (ejtsd: x nagyobb vagy egyenlő, mint 3) feltétel. Ellenőrzés után láthatjuk, hogy az egyenlet megoldása az 5. Az érdekesség kedvéért helyettesítsük vissza 2-t is az eredeti egyenletbe! Mint látható, a műveletek elvégzését követően hamis állításhoz jutunk. Ha az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük, akkor viszont az állítás igazzá válik. Ez az, amiért a 2-t is megkaptuk. Ezt az egyenlet hamis gyökének is szokás nevezni. Ebből látszik, hogy a négyzetre emelés csak bizonyos megkötések mellett ekvivalens átalakítás, végrehajtása előtt körültekintőnek kell lenni.
Nézzük meg a feladat grafikus megoldását is! Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az egyenlet két oldalán álló kifejezésekkel megadható függvényeket! Keressük meg, hogy az értelmezési tartomány elemei közül melyek azok, amelyekre a két függvény azonos értéket vesz fel. Ez a két grafikon metszéspontjában valósul meg, azaz a keresett megoldás az\(x = 5\).