Prímszámok és összetett számok, LNKO, LKKT

A számelméletet a matematika királynőjének is nevezik, annyi érdekes kérdést vet fel. Rengeteg tudós törte és töri a fejét a felmerülő problémákon.
Csoportosíthatjuk a természetes számokat az osztók száma szerint. Azokat a számokat nevezzük prímszámoknak, melyeknek pontosan két pozitív osztójuk van. Mondjuk őket törzsszámnak is.
Azokat a természetes számokat, amelyeknek kettőnél több osztójuk van, összetett számoknak nevezzük.
Figyelj! A nulla és az egy nem prímszám és nem is összetett szám.
A következő halmazábrában jelöltük a természetes számokat 20-ig, a megfelelő helyre írva őket.
Egyetlen páros prímszám van, a 2.
Euklidész nevéhez fűződik annak bizonyítása, hogy végtelen sok prímszám létezik. Az eddig megtalált legnagyobb prím 17 millió számjegyből áll.
A prímszámok keresésére számítógépes programok állnak rendelkezésre, de kisebb számokról az eratoszthenészi szita segítségével te is eldöntheted, hogy prímszámok-e. A görög tudós algoritmusával nem túl nagy számhalmazból kiválogathatjuk a prímszámokat, a többszöröseiket sorban lehúzva.
Az ikerprímek olyan számpárok, melyek különbsége kettő. Euklidész nevéhez fűződik az a sejtés, hogy végtelen ilyen ikerpár létezik, de bizonyítása máig nincs.
A prímszámok szabálytalanul fordulnak elő a számok sorozatában, köztük tetszőlegesen sok összetett szám lehet.
Bontsuk fel a 225-öt prímszámok szorzatára. Célszerű a legkisebb prímszámmal kezdeni a felbontást, bár a sorrendtől eltekintve ez a felbontás mindig egyértelmű.
Most már felírhatjuk prímszámok szorzataként.
Ebből a képletből megtudhatod azt is, hány osztója van a 225-nek. Egyszerűen megjegyezheted, csak a kitevőkhöz adj mindig egyet, és ezeket a számokat szorozd össze! A 225 osztóinak száma kilenc.
Az osztókat $3 \cdot 3$, vagyis összesen 9-féleképpen választhatod ki.
Vegyünk egy másik számot, a 360-at. Bontsuk fel prímtényezők szorzatára, és írjuk fel szorzat alakban az eredményt!
Az osztókat most $4 \cdot 3 \cdot 2$, vagyis 24-féleképpen választhatod ki.
A 360-nak tehát 24 osztója van.
Vegyük ennek a két számnak az osztóit, és keressük meg a közös osztókat! A közös osztók közül mindig van legnagyobb, ez most a 45.
Két vagy több természetes szám legnagyobb közös osztóját megkapjuk, ha a közös osztók közül kiválasztjuk a legnagyobbat. A legnagyobb közös osztót kerek zárójellel jelöljük.
Ha két szám legnagyobb közös osztója az 1, akkor a számokat relatív prímeknek nevezzük.
A legnagyobb közös osztót kiszámolhatod a prímtényezős felbontásból is. A közös prímtényezőket szorozd össze a legkisebb hatványon! Az előbbi két szám közös prímtényezői a 3 és 5, legkisebb hatványai ${3^2} \cdot {5^1}$ (ejtsd: három a másodikon és öt az elsőn).
Vizsgáljuk ennek a két számnak a közös többszöröseit, közülük keressük a legkisebbet! A két számnak végtelen számú közös többszöröse van.
Ez az eljárás nagyon hosszadalmas lenne. Sokkal egyszerűbb, ha az összes előforduló prímtényezőt kiválasztjuk és összeszorozzuk azokat az előforduló legnagyobb hatványon.
Példánkban tehát ${2^3} \cdot {3^2} \cdot {5^2}$ ejtsd: kettő a harmadikonszor három a másodikonszor öt a másodikon). Így megkapjuk a számok legkisebb közös többszörösét. A legkisebb közös többszöröst szögletes zárójellel jelöljük.
Figyeld meg, ha a két szám legnagyobb közös osztóját és a legkisebb közös többszörösét összeszorzod, a két szám szorzatát kapod!
A most megismert fogalmakat a mindennapi életben is használhatod. Anna, Bea és Csilla vásárolni mennek. Hazafelé a buszpályaudvarról mindenki másik busszal indulna, de csak arra emlékeznek, hogy reggel hat órakor egyszerre indulhatnának el a pályaudvarról. Annának az is eszébe jutott, hogy az ő busza 20 percenként, Beáé félóránként, Csilláé 45 percenként indul egész nap. Melyek azok az időpontok a nap során, amikor egyszerre indulhatnának haza?
Mit keresünk? Reggel hat óra után melyik az a következő időpont, amikor egyszerre indulnak a buszok? Ezt a három szám legkisebb közös többszöröse mutatja meg. Prímtényezőkre bontjuk a számokat. A legkisebb közös többszörösük 180, tehát háromóránként indulnak egyszerre a buszok. Hat után reggel kilenckor, de ha ez még korai, indulhatnak haza tizenkettőkor vagy háromkor is.
A legnagyobb közös osztót a törtek egyszerűsítésénél használhatjuk. Ehhez mindkét számot prímtényezőkre bontjuk, és felírjuk őket hatványalakban. A legnagyobb közös osztójuk a 20, ez a legnagyobb szám, amellyel lehet egyszerűsíteni. A törtnek a $\frac{{74}}{{41}}$ a legegyszerűbb alakja.