Oszthatóság a pozitív egész számok körében

Tudod-e, miért vezették be a szökőévet? A világ legtöbb országában az 1582-ből, Gergely pápától származó naptárt használják. Négyévente egy nappal hosszabb a naptári év, hogy szinkronba kerüljön a csillagászati eseményekkel.
Azért nem olyan egyszerű ez! Az összes év, amely osztható néggyel, szökőév lesz, kivéve a százzal oszthatóakat. A négyszázzal oszthatóak azonban szintén szökőévek. Ez már majdnem pontos is lenne, az eltérés a kétféle számítás szerint már csak 0,0001 (ejtsd: nulla egész egy tízezred) nap. Háromezer évente még van egy nap eltérés, célszerű lenne 4000 évente egy szökőnapmentes év.
Elég bonyolultan hangzik, pedig már őseink is foglalkoztak az oszthatóság kérdésével. Az előbbi számítás szerint például 2012 szökőév volt, és az lesz 2016 és 2020 is. Nem lesz azonban szökőév 2100. Az elmondott szabályok szerint viszont 2000 szökőév volt, hiszen osztható néggyel és négyszázzal is.
Mit is jelent az a kifejezés, hogy „osztó”? Akkor mondhatjuk, hogy egy b pozitív egész szám osztója egy a pozitív egész számnak, ha van olyan k pozitív egész szám, amelyre $a = b \cdot k$ teljesül. Ekkor a többszöröse b-nek.
Minden egyes évről meg tudjuk állapítani, hogy szökőév lesz-e, ha ismerjük az oszthatóság és a naptár elkészítésének szabályait. Hogy mi lesz 4000-ben?
Egy óvó néni visz egy zacskó cukrot a gyerekeknek, amelyben 36 db cukorka van. Minden gyereknek ugyanannyit tud kiosztani. Próbáljuk meg kitalálni, hány gyerek között osztotta szét? Mit is keresünk? 36 osztóinak a számát. Ez nem nehéz, fel tudjuk sorolni mindet.
Most keressük meg a 200 osztóit! A legegyszerűbb, ha párokba rendezve soroljuk fel őket. Észreveheted, hogy egy idő után ugyanazok a tényezők kerülnek elő, vagyis elég, ha csak a szám négyzetgyökéig keresed meg az osztókat! Így akár nagy számoknak is gyorsan fel lehet sorolni az osztóit!
Mit gondolsz, a 2354 osztható-e kettővel, öttel vagy tízzel? Bontsuk fel helyi értékek szerint! Az első három tag osztható tízzel, vagyis kettővel és öttel is, tehát csak az utolsó számjegyet, a négyet kell alaposabban megvizsgálnunk. A négy osztható kettővel, tehát a 2354 is, de nem osztható öttel és tízzel, így a 2354 sem.
Az előző gondolatmenet jól illusztrálja a következő szabályt: Egy pozitív egész szám akkor osztható kettővel, öttel vagy tízzel, ha az utolsó számjegye osztható kettővel, öttel vagy tízzel.
Osztható-e vajon ez a szám százzal, néggyel, huszonöttel és ötvennel? Újból vizsgáljuk meg a helyi értékes felírást! A kétezer és a háromszáz osztható százzal, így huszonöttel, ötvennel és néggyel is, hiszen ezek osztói a 100-nak. Elég tehát az utolsó két számjegyet vizsgálnunk. Az ötvennégy nem osztható egyik számmal sem, így a 2354 sem.
A tapasztalat tehát egybecseng az oszthatósági szabállyal: Egy pozitív egész szám akkor osztható néggyel, hússzal, huszonöttel, ötvennel vagy százzal, ha az utolsó két számjegyéből képzett szám osztható vele.
Ha egy versenyen 567 800 forintot kell elosztani igazságosan nyolc versenyző között, meg tudjuk-e tenni? Kaphat-e mind a nyolc ember ugyanannyi pénzt úgy, hogy – természetesen – mindenki egész forintot kap? Miközben gondolkodunk, a nyolccal együtt érdemes az ezerrel és a százhuszonöttel való oszthatóságot is megvizsgálni. A képernyőn látható, hogy csak az utolsó három számjegyet kell vizsgálnunk, példánkban ez a nyolcszáz. Nem osztható ezerrel, sem százhuszonöttel, de a szám osztható nyolccal, tehát ennyi nyereményt el tudunk igazságosan osztani nyolcfelé.
Az előző gondolatmenet is mutatja, hogy egy pozitív egész szám akkor osztható nyolccal, százhuszonöttel vagy ezerrel, ha az utolsó három számjegyéből képzett szám osztható vele.
Eddig tehát az utolsó számjegyeket kellett figyelembe vennünk. A 2354 vajon osztható-e kilenccel? Ennek eldöntéséhez kissé átalakítjuk a helyi értékes felírást. A helyi értékeket felbontjuk egy kilenccel osztható szám és az 1 összegére. Ezután azokat a tagokat írjuk előre, amelyekben van kilenccel osztható tényező, a többi a végére kerül.
Láthattuk, hogy akkor osztható kilenccel vagy hárommal egy szám, ha a számjegyeinek összege osztható vele.
Bizonyos pozitív egész számok esetében nem elég egyetlen szabály alkalmazása az oszthatóság eldöntésére. Egy szám például akkor osztható hattal, ha kettővel és hárommal is, tizenkettővel, ha hárommal és néggyel is, illetve harminchattal, ha néggyel és kilenccel is. Miért éppen így? Látható, hogy a 6-ot, 12-t, 36-ot felbontottuk két szám szorzatára, és a két tényezőt külön-külön vizsgáltuk. Ezzel az eljárással óvatosan kell bánni, mert például a $12 = 2 \cdot 6$ felbontás nem alkalmas a 12-vel való oszthatóság eldöntésére, hiszen a 6-tal és a 2-vel való oszthatóság nem független egymástól.
És a születésed éve? Szökőév volt? Osztható néggyel, százzal vagy négyszázzal? Számolj utána!