Függvények IV. – A négyzetgyökfüggvény

Talán a legkevésbé ismert függvény a négyzetgyökfüggvény. Nem találkozunk vele igazán a napi gyakorlatban. Mi az, hogy négyzetgyök? Egyáltalán mely számoknak van négyzetgyöke? Azt tudjuk, hogy mi az a négyzet. Egy „a” szám négyzete az a szám, amelyet akkor kapunk, ha az „a” számot összeszorozzuk önmagával. Azaz ${3^2} = 3 \cdot 3 = 9$ és ${\left( { - 3} \right)^2} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9$ (három a másodikon egyenlő háromszor három, ami egyenlő kilenc, és mínusz három a másodikon egyenlő mínusz háromszor mínusz három egyenlő kilenc). Egyszerűsítve azt mondjuk, hogy a négyzetre emeléssel ellentétes művelet a négyzetgyökvonás. De máris felmerül a kérdés, hogy akkor 9 négyzetgyöke 3 vagy (-3), hiszen mindkét szám négyzete 9. Az egyértelműség érdekében a matematikában egy „a” nem negatív szám négyzetgyökén azt a nem negatív számot értjük, amelynek a négyzete az adott „a” szám. Tehát 9 gyöke egyenlő 3, és nem egyenlő (-3), azaz $\sqrt 9 = 3$ és $\sqrt 9 \ne \left( { - 3} \right)$.
Az előbbiekből kiderül, hogy a függvény értelmezési tartománya leszűkül, mert a negatív számok nem esnek bele az alaphalmazba. Készítsünk értéktáblázatot, és ábrázoljuk a négyzetgyökfüggvény alapesetét, amelynek a megadási módja: $f\left( x \right) = \sqrt x $ (efiksz egyenlő négyzetgyök iksz)! Az x-ek helyébe tehát most csak a 0-t és a pozitív számokat írhatjuk. Természetesen írhatunk törtszámokat is, de amint látjuk, még az egész számok közül sincs mindegyiknek egész négyzetgyöke.
Az ábrázoláshoz ebben az esetben tehát elegendő a derékszögű koordináta-rendszer I. negyede, hiszen az értelmezési tartomány és az értékkészlet elemei is a nem negatív valós számok halmazából kerülnek ki. Az ábrázolásnál általában először csak az egész értékeket ábrázoljuk, és ezeket görbe vonallal kötjük össze. A függvény képe számunkra eddig ismeretlen formát alkot. Ezt a képet „félparabolának” nevezzük, mert ha elkészítenénk az x tengelyre vetített tükörképét, akkor egy „parabola” képét kapnánk.
Vizsgáljuk meg a függvény jellemzőit, tulajdonságait! Értelmezési tartománya a nem negatív valós számok halmaza. Értékkészlete szintén a nem negatív valós számok halmaza. Zérushelye, vagyis ahol a függvény értéke nulla, egy helyen van, az $x = 0$ helyen. Szélsőértéke: a függvény minimuma az $x = 0$ helyen van, ahol a függvény értéke $y = 0$; maximuma nincs, mert a függvény értékei folyamatosan nőnek. A függvény menete vagy monotonitása a nem negatív valós számok halmazán szigorúan monoton növekvő.
Ahogyan a korábbi fejezetekben is láthattuk, a függvények képe módosítható, transzformálható. A kérdés továbbra is az, hogy milyen módon, illetve hogy ezt mi és hogyan befolyásolja. Természetesen továbbra is a konstans értékek a meghatározók. Vegyük az alábbi megadási módot, ahol a, b és c konstans! (ef x egyenlő egyenlő a-szor négyzetgyök iksz plusz b, meg c) Mit jelent vajon az a, a b és a c? Nézzük meg az alábbi megadási módokkal értelmezett függvényeket! $f\left( x \right) = \sqrt x $ (efiksz egyenlő négyzetgyök iksz) $g\left( x \right) = 2\cdot\left( {\sqrt {x - 3} } \right)$ (géiksz egyenlő kétszer négyzetgyök iksz mínusz három) $h\left( x \right) = \left( { - 1} \right) \cdot \sqrt x + 2$ (háiksz egyenlő mínusz egyszer négyzetgyök iksz plusz kettő) Készítsünk értéktáblázatot! Például, ha x = 7, akkor $f\left( x \right) = \sqrt 7 = 2,64$ (ef hét egyenlő négyzetgyök hét, ami egyenlő kettő egész hatvannégy század), $g\left( x \right) = 2 \cdot \left( {\sqrt {7 - 3} } \right) = 4$ (gé hét egyenlő kétszer négyzetgyök hét mínusz három, ami egyenlő 4), és $h\left( x \right) = \left( { - 1} \right) \cdot \sqrt 7 + 2 = - 0,64$ (há hét egyenlő mínusz egyszer négyzetgyök hét plusz kettő, ami egyenlő mínusz nulla egész hatvannégy század).
Ábrázoljuk a függvényeket közös koordináta-redszerben! Az értékkészlet elemeit tekintve láthatjuk, hogy most a koordináta-rendszer első és negyedik negyedére lesz szükségünk. Figyeljük meg az elkészített függvényeket! Az ef a már korábban vizsgált alapfüggvény. A g függvény képét úgy kapjuk meg az f függvény képéből, hogy először a bé egyenlő mínusz 3 miatt az x tengellyel párhuzamosan jobbra toljuk 3 egységgel, majd az „a” egyenlő 2 miatt a grafikont az y tengely irányában kétszeresére nyújtjuk. A há függvény képét pedig úgy kapjuk az ef függvény képéből, hogy az ef függvény képét az „a” egyenlő mínusz egy miatt először az x tengelyre tükrözzük, majd a cé egyenlő plusz 2 miatt az y tengellyel párhuzamosan felfelé toljuk két egységgel. Tehát a függvények képét és tulajdonságait a fent látott módon a konstansok értékei határozzák meg.