Függvények I.

– Attól függ. – Mitől? – halljuk egy párbeszédben. Tényleg, mitől is függ? Ahhoz, hogy ezt meg tudjuk mondani, ismerkedjünk meg egy kicsit a függvényekkel!
Vegyünk egy példát! Magyarország települései földrajzi elhelyezkedésük alapján megyékhez tartoznak.
Készítsünk két halmazt! Az első halmazba Magyarország településeit, a másodikba Magyarország megyéit helyezzük el. Kössük össze a megfelelő párokat aszerint, hogy melyik település melyik megyében van! Míg egy megyéhez több település is tartozhat, addig van olyan település, például Budapest, amelyik egyik megyéhez sem tartozik. Egyetlen dolog biztos, hogy olyan település nincs, amelyhez több megye is tartozna.
Az előbbi feladatban elvégzett párosítást a matematikában hozzárendelésnek, más néven relációnak nevezzük. A hozzárendelés egy adott utasításnak megfelelő „párosítás”. A hozzárendelés lehet egyértelmű hozzárendelés, amikor egy elemnek pontosan egy elem felel meg, például egy településhez csak egy megye tartozik. Most fordítsuk meg a hozzárendelés irányát, rendeljük hozzá egy-egy megyéhez a településeit! Ez már nem egyértelmű, mert egy megyéhez több település is tartozik. Módosítsuk úgy a feladatot, hogy az első halmazba a megyéket, a másodikba a megyeszékhelyeket tesszük! Rendeljük hozzá minden megyéhez a székhelyét! Ekkor minden megyéhez egy és csak egy megyeszékhely tartozik. Ha egy hozzárendelés oda- és visszafelé is egyértelmű hozzárendelés, akkor kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésről beszélünk.
A függvény tehát egyszerűbben kifejezve elemek párosítása, azaz hozzárendelés = reláció. Azt a halmazt, amelyhez hozzárendelünk alaphalmaznak, azt a halmazt, amelyet az alaphalmazhoz rendelünk, képhalmaznak nevezzük. Ezek a halmazok bármilyen elemeket tartalmazhatnak. Észrevehetjük, hogy a halmazoknak nem mindig használjuk fel minden elemét. Ekkor a halmazok egy-egy részhalmazáról beszélhetünk. Az alaphalmaznak ez a részhalmaza az értelmezési tartomány, rövidítve É.T., a képhalmaz felhasznált részhalmaza pedig az értékkészlet, rövidítve É.K.
Függvényről tehát akkor beszélünk, ha a két halmaz között egyértelmű hozzárendelés áll fenn. A függvényeket, vagyis a hozzárendelést többféle módon megadhatjuk: halmazábrák, nyíldiagram, táblázat, utasítás, képlet, koordináta-rendszerben történő ábrázolás vagy szöveges utasítás formájában. A matematikában leggyakrabban számokkal dolgozunk, azaz az adott halmazok elemei számok, ezt szám-szám függvénynek nevezzük.
Készítsünk napi hőmérsékleti görbét egy szép nyári napról! Az értelmezési tartomány elemei most a nap órái 0-tól 24-ig, az értékkészlet elemei a hőmérsékleti értékek, azaz a fokok. Használjuk a következő táblázatot! Ábrázoljuk az adatokat derékszögű, Descartes-féle (dékárt-féle) koordináta-rendszerben! A Descartes-féle koordináta-rendszer két darab egymásra merőleges tengelyből, azaz számegyenesből áll, amelyek metszéspontja az origó. A vízszintes tengely az abszcisszatengely, ezen jelöljük az értelmezési tartomány elemeit, általában ezt a tengelyt x tengelynek nevezzük. A függőleges tengely az ordinátatengely, itt jelöljük az értékkészlet elemeit, általában ez az y tengely.
A függvényt megfigyelve láthatjuk, hogy vannak olyan értékek, amelyeknél feljebb már nem „megy” a függvény, például a 33 fok, ez a függvény maximuma, és van olyan érték, amelynél nem „megy” lejjebb, ez a függvény minimuma. Ha pontosak akarunk lenni, akkor megadjuk, hogy hol van a függvény minimumának vagy a maximumának a helye és mennyi az értéke. A minimumot és a maximumot összefoglaló néven szélsőértéknek nevezzük. A mi példánkban tehát a minimumhely: 3 óra, a minimum értéke: 14 fok, a maximum helye: 15 óra, a maximum értéke: 33 fok. Nem minden függvénynek van szélsőértéke és olyan függvény is van, melynek vagy csak maximuma, vagy csak minimuma van. A függvényeknek még egy fontos jellemzője a zérushely. Ha hideg téli napon mérjük a hőmérsékletet, akkor az értékek mínuszba is átcsapnak. Azt a pontot, ahol a függvény a vízszintes tengelyt metszi, azaz a függvény értéke pontosan 0, azaz $y = 0$a függvény zérushelyének nevezzük. Olvassuk le az ábráról a függvény zérushelyét! Hopp! Kettő is van: egyik a 10 óra, a másik a 22 óra. Látjuk, hogy a hőmérséklet hol nő, hol pedig csökken a két szélsőérték között. A maximumtól a minimum felé haladva a függvény monoton csökken, míg a minimumtól a maximumig monoton növekszik. Ha ez a csökkenés vagy növekedés folyamatos, akkor azt mondjuk, hogy a függvény az adott intervallumban szigorúan monoton csökkenő vagy szigorúan monoton növekvő. Ezt nevezzük a függvény monotonitásának, más néven a függvény menetének. A függvényeknek ezeket a jellemzőit a függvény tulajdonságainak nevezzük.
Mitől függ tehát? A kérdésre, amelyet a film elején feltettünk, most már tudjuk a választ. Attól függ, hogy mihez rendelek hozzá és a hozzárendelést milyen utasítással adom meg, azaz a hozzárendelési szabálytól.