Halmazműveletek

Ebben a videóban a legfontosabb halmazműveletekkel ismerkedhetsz meg. Az alaphalmazt most egy gimnáziumi osztály harmincöt tanulója jelenti. Vegyük ennek az osztálynak két részhalmazát! Az egyik legyen a fiúk, a másik a lányok halmaza. Van-e közös része ennek a két halmaznak? Nyilvánvaló, hogy nincs közös elemük. Az ilyen halmazokat diszjunkt halmazoknak nevezzük.
Válasszunk az osztályban két másik részhalmazt! Az egyikben legyenek azok a tanulók, akik szeretik a pizzát, a másikban azok, akik szeretik a hamburgert. Vajon ennek a két halmaznak van-e közös része? Naná! Ha vannak olyan tanulók, akik mindkettőt szeretik, akkor őket középre fogjuk beírni. Ezek tehát nem diszjunkt halmazok.
Azok az elemek, amelyek mindkét halmazban benne vannak, a két halmaz közös részét vagy metszetét alkotják. Jele: $A \cap B$. (ejtsd: A metszet B)
Ugyanez az osztály témazárót írt matematikából és fizikából is. Matekból nyolc ötös lett, fizikából tizenkettő, és vannak hárman, akik mindkét tárgyból a legjobb jegyet szerezték meg. Próbálj meg arra válaszolni, hogy az osztályban hány tanuló írt ötöst valamelyik tárgyból! Megint segít az ábrázolás, amit John Venn matematikusról Venn-diagramnak nevezünk. Kezdjük a metszetnél, ide három tanuló tartozik. Így öt diák maradt, aki csak matematikából írt ötöst, és kilenc, aki csak fizikából. Ha a három számot összeadod, láthatod, hogy jeles eredménye összesen tizenhét diáknak lett. Ez a 17 diák alkotja a két halmaz unióját vagy egyesítését. Azok az elemek tartoznak ebbe a halmazba, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak.
Az osztályban sok a sportrajongó diák. Egy hétfői napon az osztályfőnök megkérdezte az összes tanulót, melyik sportműsort nézték a hétvégén. A válaszokat a képernyőn láthatjátok. Ezek alapján rajzoljuk meg a diagramot! A halmazokon kívülre kerül a 8 fő. Ezután érdemes a közös részt kitölteni. Ám ha összeadjuk a számokat, 51 jön ki. Ez hogyan lehetséges, ha csak harmincöten vannak? Úgy, hogy voltak olyan gyerekek, akik mindkét műsort megnézték, őket kétszer is megszámoltuk. A hibát úgy hozhatjuk helyre, hogy vesszük az ötvenegy és a harmincöt fő különbségét. Az így kapott tizenhat gyerek középre kerül, hiszen őket számoltuk kétszer. Nézzük a kérdéseket! Hányan nézték a két sportműsor valamelyikét? Vagyis arra keressük a választ, hogy hány elemű a két halmaz uniója. Ha összeadjuk a számokat, azt a választ kapjuk, hogy huszonheten nézték legalább az egyik műsort. Hányan nézték mindkét műsort? Összesen tizenhatan tartoznak a két halmaz metszetébe. És hány olyan diák volt, aki csak a Forma 1-et nézte, de a teniszt nem? Erre a kérdésre a válaszunk a három, ők adják meg a két halmaz különbségét.
Két halmaz különbségébe azok az elemek tartoznak, amelyek csak az egyik halmaznak elemei, a másiknak nem. Vagyis \({\rm{A}}\backslash {\rm{B}}\) (ejtsd: A különbség B) halmazt azok az elemek alkotják, amelyek csak az A halmazban vannak benne, a B-ben nem.
Tehát a legfontosabb halmazműveletek: metszet, unió, különbség. A metszet- és az unióképzésnél felcserélhetjük a halmazokat, nem változik az eredmény, ugyanúgy, mint a számok összeadásánál és a szorzásnál. Azt mondjuk, ezek kommutatív műveletek. Több halmaz esetében tetszőleges sorrendben zárójelezhetünk is, tehát ezek a műveletek asszociatívak is. A különbség esetén viszont nem cserélhetjük fel a halmazokat. Úgy mondjuk, hogy a különbségképzés nem kommutatív művelet, mint ahogy a számok kivonása sem. Nézd csak! Sőt, a zárójelezéssel is vigyáznod kell!