Halmazelmélet

Ha a barátaiddal beszélgetsz, gyakran felmerül a kérdés, hogy ki okos, szép, esetleg unalmas az ismerőseitek között. Erre a kérdésre nehéz válaszolni, hiszen mindenki mást tart szépnek, okosnak. Ha viszont például az osztályod tanulóiról, esetleg Petőfi Sándor verseiről beszélünk, egyértelműen eldönthető, ki vagy mi tartozik ebbe a két csoportba. Az utóbbi két csoport halmazt ad meg.
A „halmaz” és a „halmaz eleme” alapfogalom, így nem definiáljuk.
Nézzünk néhány példát! Legyen az A halmaz Magyarország hatszoros olimpiai bajnokainak halmaza. Két eleme van ennek a halmaznak: Kárpáti Rudolf és Kovács Pál. Halmazt adtunk meg, mert bárkiről el tudjuk dönteni, hogy beletartozik-e.
A halmazokat többféleképpen meg tudjuk adni. Megadhatunk egy halmaz elemeire egyértelműen jellemző közös tulajdonságot, utasítást, például „Magyarország hatszoros olimpiai bajnokai”. Megadhatjuk a halmazt képlettel is, amely a közös tulajdonság jelekkel való megfogalmazása. (A képernyőn látható képlet azt jelenti, hogy a B halmaz elemei mindazon természetes számok, amelyek nullánál nagyobbak vagy egyenlők és ötnél kisebbek.) Még egy lehetőség, hogy felsoroljuk a halmaz elemeit: „Kárpáti Rudolf, Kovács Pál”. A lényeg az, hogy úgy adjuk meg a halmazokat, hogy bármely dologról egyértelműen eldönthető legyen, eleme-e a halmaznak, vagy sem.
Legyen az \({{\rm{U}}_{\rm{1}}}\) halmaz Magyarország olimpiai bajnokainak halmaza, a londoni olimpiával bezárólag. Egy kis kutakodással megállapítható, hogy ennek a halmaznak hány eleme van. Az \({{\rm{U}}_{\rm{1}}}\) halmaz elemeinek száma kettőszázkilencvenöt.
Egy halmaz elemeinek számát a halmaz számosságának nevezzük. Ez a halmaz véges halmaz, mert az elemei számát egy természetes számmal meg tudtuk adni. Ha a számossága nem adható meg egy természetes számmal, azt mondjuk, a halmaz végtelen. Legyen egy következő halmaz azoknak a magyar olimpiai bajnokoknak a halmaza, akik teniszben szerezték győzelmüket. Ez egy olyan halmaz, melynek nincsen egyetlen eleme sem. Ezt nevezzük üres halmaznak.
Baczakó Péter és Földi Imre súlyemelésben szerzett olimpiai bajnoki címet. Ők is elemei az \({{\rm{U}}_{\rm{1}}}\) halmaznak, annak egy részét képezik. Azt mondjuk, az \({{\rm{U}}_{\rm{1}}}\)-nek egy részhalmazát alkotják.
Az \({{\rm{U}}_{\rm{1}}}\) halmaznak nagyon sok részhalmazát tudjuk képezni. A vízilabdázók, az úszók, a tornászok is részhalmazt adnak meg az olimpiai bajnokok között. Van két különleges halmaz: maga az \({{\rm{U}}_{\rm{1}}}\), illetve az üres halmaz. Ezek szintén részhalmazok \({{\rm{U}}_{\rm{1}}}\)-ben, de közülük maga az \({{\rm{U}}_{\rm{1}}}\) úgynevezett nem valódi részhalmaz. Az összes többit valódi részhalmaznak nevezzük.
Az U halmaz elemei a, b és c. Írjuk fel ennek a halmaznak az összes részhalmazát! Az üres halmaz és az alaphalmaz részhalmaza U-nak. Ezenkívül vannak egyelemű és kételemű részhalmazok is. Összesen nyolc részhalmaza van.
Bebizonyítható, hogy egy n elemű halmaz összes részhalmazainak száma ${2^n}$ (ejtsd: kettő az n-ediken).
Térjünk vissza olimpiai bajnokainkra! Legyen az alaphalmaz az összes olyan magyar olimpiai bajnok, aki 2012-ig vízilabdában nyert. Ennek egy részhalmaza a háromszoros olimpiai bajnok vízilabdázókból álló halmaz. Mindazon elemek, amelyek benne vannak az alaphalmazban, de nincsenek benne az A halmazban, az A komplementer halmazát alkotják. Ennek jele $\bar A$. (ejtsd: Á vonás)
Ha többet szeretnél tudni a halmazelméletről, ismerkedj meg Georg Cantor életművével! Ő a halmazelmélet atyja.