Függvények II. - A lineáris függvény

Karácsonyeste gyertyát szeretnénk gyújtani. Valamilyen szép, ünnepi gyertyát vásárolnánk. Mennyit vegyünk ahhoz, hogy az egész estét betöltse a gyertyafényes hangulat?
Lássuk csak! Ha este hat órakor kezdjük az ünneplést és körülbelül tíz óráig tart, az négy óra. Egy kecses, karcsú gyertya hozzávetőleg 40 perc alatt ég le. $4{\rm {óra}} = 4\cdot60 = 240 perc$ (négyszer 60 perc), továbbá $240:40 = 6$ (240 osztva 40-nel).
Azt is ki tudjuk számolni, hogy egy-egy gyertya mikorra ég le, vagy másképpen azt, hogy mikor kell kicserélni. Ehhez érdemes egy táblázatot készíteni. Feltételezzük, hogy a gyertyák egyenletesen égnek, így a gyertyák száma és az eltelt idő között egyenes arányosság van.
Ábrázoljuk ezt az összefüggést koordináta-rendszerben! A vízszintes tengelyen az első gyertyagyújtás óta eltelt időt, a függőlegesen az elhasznált gyertyák számát ábrázoljuk! Láthatjuk, hogy a függvényünk képe egy egyenes lesz. Az egyenes meredekségét pedig a gyertya égési sebessége határozza meg, amely „egy negyvened” darab per perc. Ha vastagabb gyertyát választanánk, az tovább égne, mondjuk egy hatvanad darab per perc lenne az égési sebessége. Ez azt jelenti, hogy ugyanannyi gyertya hosszabb ideig lenne elegendő. Jelen esetben $6 \cdot 60 = 360{\rm{ }} perc$. Ha ezt ábrázoljuk, akkor a kapott függvény grafikonja kevésbé meredek, ahogy ezt a piros egyenesen látod. A szám tehát, amely meghatározza a függvény képének meredekségét, a gyertya égési sebessége.
Próbáljunk meg összefüggést felírni a gyertyák száma és az idő között! A gyertyák száma egyenlő: égési sebesség szorozva az idővel. Jelekkel: „en” egyenlő „vészer” „té”, ahol „en” a felhasznált gyertyák száma, „vé” a gyertyák égési sebessége, „té” az első gyertyagyújtás óta eltelt idő. Az első esetben „en” egyenlő egy-negyvenedszer „té”, a második esetben pedig „en” egyenlő egy-hatvanadszor „té”. Minél több idő telik el az első gyertyagyújtás óta, annál több gyertyát használunk el. Ezt az összefüggést nevezzük egyenes arányosságnak. Ezzel el is jutottunk a lineáris függvényekhez, melyeknek egy speciális esete az egyenes arányosság függvény.
Az előzőek alapján már könnyen megértjük a lineáris függvény általános megadási módját: A lineáris függvény általános megadási módja: ef x egyenlő ászor x plusz bé, ahol x a változó, „á” és „bé” konstansok, azaz számok. „Á” a függvény grafikonjának meredeksége, „bé” a grafikon y-tengelymetszete. Mint azt már láttuk, az á értéke meghatározza a függvény grafikonjának meredekségét és menetét. Az „a” értéke nemcsak pozitív lehet, így bontsuk az „a” jelentését három részre: Ha $a > 0$, azaz pozitív, akkor a függvény menete szigorúan monoton növekvő, ha $a < 0$, azaz negatív, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő, Ha „á” egyenlő nulla, akkor a függvény konstansfüggvény, képe az x tengellyel párhuzamos egyenes, amely a lineáris függvények egyik speciális változata. A „b” szám az y tengelyen lévő metszetet adja meg. Láttuk, hogy ha $b = 0$, akkor a függvény éppen az origón megy át. Ekkor a lineáris függvény egy másik speciális változatát kapjuk, az egyenes arányosság függvényt.
Nézzünk példákat az előző esetekre a függvények formulával történő megadásával! $f\left( x \right) = \left( { - 2} \right)x - 3$ $g\left( x \right) = \left( { - 2} \right)x$ $h\left( x \right) = - 3$ Készítsünk táblázatot, számítsuk ki az egyes függvények behelyettesítési értékét x helyen! Például f(x) behelyettesítési értéke x = -4 helyen: $f\left( { - 4} \right) = \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) - 3 = 5$ (mínusz 2-ször mínusz 4-ből 3 = 5) Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a függvényeket! Látható, hogy ef és gé függvények meredeksége azonos, ezért a két függvény grafikonja párhuzamos, csak tengelymetszetükben térnek el. Hának pedig minden helyettesítési értéke mínusz 3, ezért a függvény képe egy x-tengellyel párhuzamos egyenes.
A lineáris függvények ábrázolásával számtalan matematikai, fizikai, statisztikai, természetismereti jelenséget, törvényszerűséget, összefüggést szemléltethetünk. Különösen a fizikában az út-idő-sebesség viszonyának ábrázolására nagyon szemléletes az egyenes vonalú egyenletes mozgások esetében. Jó munkát kívánunk!