Exponenciális függvények

A média gyakran közöl olyan híreket, amelyekben felbukkan az exponenciális növekedés. Ha egy földrész népessége exponenciálisan növekedik, ha a járvány exponenciálisan terjed, a légköri nyomás a magassággal exponenciálisan csökken, akkor általában gyors változásra asszociálunk. Persze ha a tudásunk vagy a pénzünk növekedése exponenciális, akkor jóleső érzés tölt el minket. Mi is ez az exponenciális növekedés, csökkenés?
Már tanultál a lineáris változásról, amelyet grafikusan mindig egy egyenesre illeszkedő pontok jelenítettek meg. A lineáris növekedést az jellemzi, hogy egyenlő időközönként mindig ugyannyi a változás. Ha a gépkocsi 10 km-enként 0,8 liter benzint fogyaszt, akkor az utazás egy 20 km-es szakaszán 1,6 litert, 30 km-en 2,4 litert, 50 km-en pedig 4 litert fogyaszt. Az egyenletes, vagyis lineáris változásnál egyenlő időközök alatt mindig ugyanannyival változik meg a vizsgált mennyiség.
Ha azonban egy járvány felfedezésekor már 10 000 influenzás van, és minden héten a 4-szeresére változna az addig megbetegedettek száma, akkor az első héten 40 000, a második héten 160 000, a harmadik héten 640 000, a negyedik héten pedig már 2 560 000 lenne az addig megbetegedettek száma. Ez bizony exponenciális változás, mert itt az egyenlő időközök alatt az értékek mindig ugyanannyiszorosukra – a 4-szeresükre – változtak.
Az egyenletes változáshoz az elsőfokú függvények kapcsolódnak, ezekről már sokat tanultál. Az exponenciális változáshoz az exponenciális függvények kapcsolódnak, ezeket most vizsgáljuk meg.
Nézzük először az $x \mapsto {2^x}$ (ejtsd: x nyíl 2 az x-ediken) exponenciális függvényt!
Néhány egész számra kiszámítjuk a függvényértéket, így megkapjuk a grafikon néhány pontját. Ezek felhasználásával vázoljuk a grafikont. A pontos ábrát számítógépes függvényábrázoló szoftver készítette el.
Mik a legfontosabb tulajdonságai ennek a függvénynek? Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a pozitív valós számok halmaza. A függvény szigorúan növekedő, nincs zérushelye, és nincs szélsőértéke sem.
A függvény hozzárendelési szabályában szereplő x a kitevőben van. A latin exponens szó hatványkitevőt jelent, innen kapta a függvény az exponenciális nevet. Jól látható, hogy ha az x tengelyen bárhonnan elindulva 1 egységet lépünk jobbra, akkor a ${2^x}$ függvény értéke a kétszeresére változik. Ha három egységet lépünk jobbra, akkor 3-szor kellett 2-vel szoroznunk, vagyis ${2^3} = 8$-szorosára változott a függvényérték a kiindulási értékhez képest.
Az általánosabb vizsgálathoz rajzoljuk meg néhány exponenciális függvény grafikonját közös koordináta-rendszerben! A függvények hozzárendelési szabálya $x \mapsto {a^x}$ (ejtsd: x nyíl á az x-ediken), ahol $a > 1$ (á nagyobb, mint 1). Mindegyik függvény szigorúan növekedő, csak a növekedés ütemében van eltérés közöttük. A grafikonok közös pontja a (0; 1) pont, mert ${a^0} = 1$.
Eddig olyan exponenciális függvényekről volt szó, amelyek 1-nél nagyobb szám hatványaihoz kapcsolódtak. Vizsgáljuk meg azokat az exponenciális függvényeket is, amelyeknél az alap 1-nél kisebb pozitív szám!
Nézzük például az $x \mapsto {0,5^x}$ exponenciális függvényt! Itt is megadjuk a grafikon néhány pontját egy értéktáblázat segítségével, majd vázoljuk a függvény grafikonját.
Mik a legfontosabb tulajdonságai ennek a függvénynek? Csak a monotonitásában tér el az 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvényektől. Ez ugyanis szigorúan csökkenő függvény.
Ábrázoljunk közös koordináta-rendszerben még néhány olyan exponenciális függvényt, amelynél a hatványalap 1-nél kisebb pozitív szám! Látjuk, hogy mindegyik függvény szigorúan csökkenő, csak a csökkenés ütemében van eltérés közöttük. A grafikonok közös pontja a (0; 1) pont.
Összefoglalva: az $x \mapsto {a^x}$ (ejtsd: x nyíl á az x-ediken) hozzárendelési szabályú függvényeket exponenciális függvényeknek nevezzük. Ha az alap 1-nél nagyobb, akkor a függvény szigorúan növekedő, ha pedig az alap 1-nél kisebb pozitív szám, akkor szigorúan csökkenő.
Amikor tehát exponenciális folyamatokról beszélünk, a folyamatok leírása valamelyik exponenciális függvényhez kapcsolódik.