Exponenciális folyamatok a valóságban

Sokszor hallottál már arról, hogy az információmennyiség robbanásszerű növekedése exponenciális, hogy a baktériumok száma olykor exponenciálisan növekszik, hogy a radioaktív bomlásnál fontos a felezési idő, vagy hogy a számítógéped értéke az idő múlásával exponenciálisan csökken. A művelt embernek fontos megértenie, hogy pontosan mit is jelentenek ezek a közlések.
Mivel folyamatokról van szó, az idő múlása meghatározza a folyamat irányát. Az eltelt idő függvényében teszünk megállapításokat a vizsgált mennyiség megváltozására.
Az egyik leggyakrabban emlegetett probléma a Föld túlnépesedése, a népesség gyorsuló növekedése. Járjunk utána, hogy ez mit jelent!
1837-ben a Földnek körülbelül 1 milliárd lakosa volt. Egy matematikai modell szerint a népesség minden évben az előző évinek 1,1%-ával (ejtsd: egy egész egy tized százalékával) növekedett. Ez azt jelenti, hogy a növekedés exponenciális, hiszen minden évben meg kell szorozni az előző évi népességszámot ugyanazzal a számmal, 1,011-del. (ejtsd: egy egész tizenegy ezreddel) A matematikai modell az $x \mapsto {1,011^x}$ (ejtsd: x nyíl egy egész tizenegy ezred az x-ediken) exponenciális függvény, amelyben az x helyére az 1837 óta eltelt évek számát kell írnunk.
Ha tehát az 1900-as évre vagyunk kíváncsiak, akkor összesen 63-szor kellett 1,011-del szoroznunk. Az 1900-as lélekszám ${1,011^{63}}$ (ejtsd: 1,011 a 63-dikon) milliárd, azaz körülbelül 2 milliárd lehetett. A modell szerint 63 év alatt megduplázódott a földi lakosok száma. Az exponenciális függvény alaptulajdonsága miatt 63 évenként megduplázódik a földi lakosság: 1963-ban 4 milliárd, 2026-ban 8 milliárd, 2089-ben 16 milliárd lakost jelez a matematikai modell. Mai ismereteink szerint a 2026-ra vonatkozó becslés nem is áll távol a valóságtól!
Az exponenciális népességnövekedés ezek szerint azt is jelenti, hogy ugyanannyi időközönként egyre nagyobb számmal növekszik a népesség. A rendelkezésre álló erőforrások – például energia, nyersanyag, élelem – azonban nem tudnak lépést tartani ezzel a növekedéssel. Így vagy az életfeltételek romlanak drámaian, vagy a népesség növekedési ütemének kell drasztikusan csökkennie.
A második példa is hétköznapi lesz, egy autó értékvesztése.
Tegyük fel, hogy egy új autót 3 millió forintért vásároltak. Egy matematikai modell szerint az autó minden évben elveszíti értékének 10,9%-át.
Melyik függvény írja le az autó értékét?
1 éves korára az autó elveszítette eredeti értékének 10,9%-át, így az értéke az eredetinek 89,1%-a, azaz 0,891-szerese (nulla egész 891 ezredszerese) lett. A következő évben is 0,891-szeresére változik az értéke, majd utána is minden évben ez történik. Az autó értéke x év múlva $3 \cdot {0,891^x}$ (ejtsd 3-szor 0,891 az x-ediken) millió forint lesz. Az autó értékét tehát az $x \mapsto 3 \cdot {0,891^x}$ (ejtsd: x nyíl 3-szor 0,891 az x-ediken) exponenciálisan csökkenő függvény írja le.
Ha éppen 6 év telik el a vásárlástól számítva, akkor az autó értéke 1,5 millió forint lesz, vagyis az eredetinek éppen a fele. Mi történik 6 évenként, ha az értékcsökkenési ütem nem változik? Minden újabb 6 év után feleződik az autó értéke. A 6 év tehát az autó értékének felezési ideje.
Minden exponenciálisan csökkenő folyamatra jellemző a felezési idő. Ha ennyi idő telik el, akkor eközben a vizsgált mennyiség értéke a kezdetinek a felére csökken. Ez attól függetlenül igaz, hogy melyik időpontban kezdtük el mérni a változást.
Érthető ezek után az is, hogy mit jelent a radioaktív anyagok felezési ideje. A felezési idő alatt a radioaktív atomok száma a kezdeti érték felére csökken, akármelyik pillanat legyen is az idő mérésének kezdete.
Az exponenciális folyamatok lényege tehát az, hogy egyenlő időközök alatt mindig ugyanannyiszorosára változik a vizsgált mennyiség. Most már bizonyára te is jobban eligazodsz az exponenciális változásokról szóló hírek között.