Párhuzamos és merőleges egyenesek egyenlete

A hétköznapi geometriai fogalmak közül kétségkívül a párhuzamosság és a merőlegesség a legismertebbek, talán ezeket tartjuk a legtermészetesebbeknek az összes geometriai fogalom közül. Elég, ha csak a vízszintes és a függőleges fogalmára gondolunk, vagy a derékszögben találkozó falakra a lakásban, esetleg a jól lerakott padlólapokra.
Szinte azonnal érzékeljük, ha egy kép „ferdén lóg“ a falon, vagy ha egy térképen két utca nem fut párhuzamosan, vagy éppen nem merőlegesen keresztezi egymást.
Párhuzamosan futnak a vasúti sínek, az ajtó élei merőlegesek és párhuzamosak, és még számtalan esetben tapasztalhatjuk, mennyire fontos két egyenes párhuzamosságának, illetve merőlegességének ismerete. A matematika egyik leghíresebb alaptétele – axiómája – is az egyenesek párhuzamosságáról szól. Ez az alaptétel a sokak által ismert párhuzamossági axióma, amely Eukleidész nevéhez kötődik.
Az ábrán látható három egyenes közül az e és az f párhuzamosnak látszanak, de nem azok, a g egyenes pedig merőleges az f egyenesre, de az e egyenesre nem. Hogyan lehet ezt a kérdést ilyen egyszerűen eldönteni? A koordinátageometriában az egyenesek egyenletének birtokában egyszerűen, szinte ránézésre tudunk dönteni arról a kérdésről, hogy két egyenes párhuzamos-e egymással, merőlegesek-e egymásra, vagy ezek egyike sem áll fenn.
Ennek bemutatására oldjunk meg egy egyszerű feladatot!
Adott az e egyenes az egyenletével, valamint a P pont.
Adjuk meg annak az f egyenesnek az egyenletét, amelyik átmegy a P ponton és párhuzamos az e egyenessel, illetve annak a g egyenesnek az egyenletét, amelyik átmegy a P ponton és merőleges az e egyenesre!
Az e egyenes egyenletéből kiolvashatjuk az egyik normálvektorát: ez a (2; 5) (ejtsd: kettő-öt) vektor. Ez a vektor merőleges az f egyenesre és párhuzamos a g egyenessel. Az n(2; 5) (ejtsd:en-kettő-öt) vektor tehát az f egyenesnek egy normálvektora, a g egyenesnek pedig egy irányvektora.
Ismerjük tehát az f egyenesnek egy pontját, a P pontot és egy normálvektorát, az n vektort.
Az f egyenlete ezekkel az adatokkal felírható.
Ha az n vektort elforgatjuk pozitív irányban ${90^ \circ }$-kal, akkor a g egyenesre merőleges vektort kapunk, azaz ismert lesz a g egyenes egy normálvektora is. A (2; 5) (ejtsd: kettő-öt) vektor elforgatottja a (–5; 2) (ejtsd:mínusz öt-kettő) vektor, ez tehát a g egy normálvektora.
A g egyenesnek ismerjük a P pontját és egy normálvektorát.
A g egyenlete ezekkel az adatokkal felírható.
Tekintsük át az eredményeket! A párhuzamos e és f egyenesek normálvektora megegyezik. A rájuk merőleges g egyenes normálvektora is merőleges az eredeti egyenes normálvektorára.
Foglaljuk össze, amit a párhuzamos és merőleges egyenesekről tudnunk kell a koordinátageometriában!
Két egyenes pontosan akkor párhuzamos, ha a normálvektoraik közösek. A párhuzamosság kérdését a két egyenes egyenletének ismeretében minden esetben el tudjuk dönteni. Az egyenesek pontosan akkor párhuzamosak, ha az egyenletükből kiolvasható normálvektorok is párhuzamosak.
Két egyenes pontosan akkor merőleges, ha a normálvektoraik merőlegesek. A merőlegesség kérdését a két egyenes egyenletének ismeretében minden esetben könnyen el tudjuk dönteni. Az egyenesek ugyanis pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha az egyenletükből kiolvasható normálvektorok is merőlegesek, azaz a skaláris szorzatuk nulla. Az egyenesek egyenlete minden kérdésünkre, így a párhuzamosság és a merőlegesség kérdésére is választ ad. Nincs tehát szükségünk jó szemmértékre, ha dönteni akarunk ezekben a kérdésekben.