A koszinusztétel

A mai világban szinte mindenki természetesnek veszi, hogy „egy kattintással“ minden információ megszerezhető.
Így van ez a földrajzi helyek távolságával is, hiszen a GPS-készülékek szinte centiméter pontossággal közölnek távolságadatokat.
Az emberiség történetében a távolság és a szög ismerete nagyon fontos volt például a földmérés, a földi és a légi közlekedés vagy a hadviselés területén. Ezért nem véletlen, hogy két pont távolságának vagy meghatározott szögek nagyságának kiszámítására már régóta ismertek voltak különböző módszerek. Bármennyire modernek is az eszközeink, a legtöbbjük működési elve visszavezethető valamilyen háromszögekkel kapcsolatos számítási feladatra.
Figyeld meg a következő példát!
Egy kisrepülőgép 243 km-t repült légvonalban a Bécs–Budapest útvonalon, majd irányt váltva további 301 km-t repült, amíg Zágrábba ért. Mekkora a bécsi és a zágrábi repülőtér távolsága légvonalban? A repülőgép fedélzeti műszerei szerint a Bécs–Budapest–Zágráb szög ${61^ \circ }$-os.
Készítsünk ábrát a feladathoz! A háromszög c oldalának hosszát kell kiszámítanunk.
Rajzoljuk meg a háromszög A csúcsból induló magasságát! Ez két derékszögű háromszögre bontja az eredeti háromszöget.
Az APC háromszögben $\frac{{CP}}{{243}} = \cos {61^ \circ }$ (ejtsd: cépé per 243 egyenlő koszinusz 61 fok), tehát $CP = 243 \cdot \cos {61^ \circ }$ (ejtsd: cépé egyenlő 243-szor koszinusz 61 fok), ami körülbelül 118 km.
A másik befogó $AP = 243 \cdot \sin {61^ \circ }$. (ejtsd: apé egyenlő 243-szor szinusz 61 fok) Ez megközelítőleg 213 km.
Figyelj most az APB háromszögre! Ennek a BP befogója $301 - 118 = 183{\rm{ }}km$ hosszú, tehát az APB derékszögű háromszög mindkét befogójának hosszát kiszámítottuk. Már csak a Pitagorasz-tétel van hátra, és máris ismertté vált a c szakasz hossza.
Számításaink szerint a Bécs–Zágráb közötti közvetlen repülőút légvonalban körülbelül 281 km hosszú.
A matematikában az is jó, hogy mindig felkínál egyszerűbb utakat is. Ez most is így van. Ha nem számoljuk ki sem az AP, sem a BP, sem a CP szakasz hosszát, akkor is kiszámíthatjuk a c oldal hosszát! A „Hogyan?“ kérdésre a képernyőn láthatod a választ! Először a $2 \cdot 243 \cdot 301 \cdot \cos {61^ \circ }$ (ejtsd: kétszer 243-szor 301-szer koszinusz 61 fok) szorzatot számoljuk ki. Ezután elvégezzük az összeadást és kivonást, majd az eredményből négyzetgyököt vonunk.
Az előbbi számításokat egyetlen képlettel is megjeleníthetjük. Ezt a képletet szokás koszinusztételnek nevezni. Szavakkal így fejezhető ki ennek a lényege: ha ismerjük egy háromszög a és b oldalát, valamint ezeknek a szögét – a gammát –, akkor a harmadik oldal négyzete így számítható ki: ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma $ (ejtsd: cé négyzet egyenlő a négyzet plusz bé négyzet mínusz két ab szer koszinusz gamma).
A koszinusztétel minden háromszög esetén korlátozás nélkül használható.
Mire kell figyelned? Az egyik az, hogy derékszögű háromszögben a koszinusztétel helyett továbbra is inkább a Pitagorasz-tétellel vagy a hegyesszögek szögfüggvényeivel célszerű számolnod. A másik az, hogy a tompaszög koszinusza negatív, ezért ha tompaszögű háromszögről van szó, akkor az előjelekre nagyon oda kell figyelned.
Egy példán azt is megtanulhatod, hogy a koszinusztétel segítségével a háromszög szögeit akkor is ki tudjuk számítani, ha a háromszög nem derékszögű!
Egy háromszögelésnél a következő hosszúságokat kapta eredményül a földmérő: $AB = 2{\rm{ }}km$, $BC = 1,2{\rm{ }}km$ és $CA = 1,55{\rm{ }}km$. El tudja-e dönteni számítással, hogy ez a háromszög hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű háromszög-e?
A válasz a koszinusztételben rejlik. A legnagyobb szöget kell megvizsgálnunk. A háromszög legnagyobb szöge a leghosszabb oldalával szemben van. Erre felírjuk a koszinusztételt. A számítások azt mutatják, hogy a $\gamma $ (ejtsd: gamma) szög koszinusza negatív. A háromszög tehát tompaszögű.
Láthatod, hogy a koszinusztétel a távolságok és szögek kiszámításának egyik hatékony eszköze, legyen szó haditervről, GPS-ről vagy éppen a család nyári kirándulásának tervezéséről.