A szinusztétel

Fúrjunk alagutat! Jó, fúrjunk! De milyen hosszú alagutat kell fúrnunk?
Ezt a problémát a modern technika igénybevétele nélkül is meg tudjuk oldani a megfelelő szögek és távolságok megmérésével. Tudjuk, hogy az alagutat a B és a C ponton átmenő egyenesen akarjuk megvalósítani, a fúrás irányát már meghatározták. Az A pont olyan hely, ahonnan B és C is látható, az AC távolság könnyen mérhető: 561 m. Az AB távolságot nem tudjuk közvetlenül megmérni, mert egy mocsaras rész fekszik a két pont között. A fúrási irányból ismertek a háromszög szögei: $\alpha = {65^ \circ }$, $\beta = 40^\circ $ és $\gamma = {75^\circ }$. (szögek ejtése: alfa, béta, gamma) Megmérték már a tervezett alagút bejáratáig a távolságokat: 239 m és 263 m.
Ha kiszámítjuk a háromszög BC oldalának hosszát, akkor az alagút hosszát is könnyen megkaphatjuk. A probléma matematikai modellje tehát egy háromszög, amelynek ismerjük a szögeit és egy oldalát. Ki kell számítanunk a háromszög egy másik oldalának hosszát. Ez az oldal az ábrán az a jelű szakasz.
Rajzoljuk meg a háromszög C csúcsához tartozó magasságát! Ez két derékszögű háromszögre bontja az ABC háromszöget.
Az APC derékszögű háromszögben $\frac{m}{{561}} = \sin {65^ \circ }$, (ejtsd: em per 561 egyenlő szinusz 65 fok) tehát $m = 561 \cdot \sin {65^ \circ }$. (ejtsd: em egyenlő 561-szer szinusz 65 fok)
Figyelj most a BCP derékszögű háromszögre! Ebben $\frac{m}{a} = \sin {40^ \circ }$, (ejtsd: em per a egyenlő szinusz 40 fok) tehát $m = a \cdot \sin {40^ \circ }$. (ejtsd: em egyenlő a-szor szinusz 40 fok)
Ugyanazt az m magasságot kétféleképpen is kifejeztük. A két kifejezésnek egyenlőnek kell lennie: $a \cdot \sin {40^ \circ } = 561 \cdot \sin {65^ \circ }$. (ejtsd: a-szor szinusz 40 fok egyenlő 561-szer szinusz 65 fok)
Egy osztással máris megkapjuk az a értékét: $a = 561 \cdot \frac{{\sin {{65}^ \circ }}}{{\sin {{40}^ \circ }}}$. (ejtsd: a egyenlő 561-szer szinusz 65 fok osztva szinusz 40 fokkal)
Az ABC háromszög BC oldalának hossza 791 méter. Ha ebből levonjuk az alagút két bejáratáig terjedő távolságokat, akkor megkapjuk az alagút hosszát. Eredményül 289 métert kapunk. A tervezett alagút hossza körülbelül 289 méter.
A feladatot tehát megoldottuk. Az eredményt szemlélve feltűnik annak egyszerűsége: mindössze egy szorzás és egy osztás segítségével ki tudtuk számítani a BC oldal hosszát!
Ha a kapott összefüggést elosztjuk 561-gyel, akkor igazán érdekes kapcsolatot láthatunk a háromszög két oldala és a velük szemközti két szög között. A háromszög két oldalának hányadosa megegyezik a velük szemközti két szög szinuszának hányadosával.
Ha a konkrét adatok helyett a szokásos betűket használjuk, akkor a következő összefüggéshez jutunk: $\frac{a}{b} = \frac{{\sin \alpha }}{{\sin \beta }}$ (ejtsd: a per b egyenlő szinusz alfa per szinusz béta)
Ez az úgynevezett szinusztétel, amely kimondja, hogy a háromszög bármely két oldalának hányadosa megegyezik a két oldallal szemközti szögek szinuszának hányadosával.
A szinusztétel minden háromszög esetében korlátozás nélkül igaz, ezért hatékony eszköz a távolságok és szögek kiszámításában.
Jó tanács, hogy a derékszögű háromszögben a szinusztétel helyett inkább a hegyesszög szögfüggvényeivel érdemes számolni. Gyorsabb és egyszerűbb így! A nem derékszögű háromszögben viszont tilos használni a derékszögű háromszögre felírt összefüggéseket!
Nézzük meg, hogyan használható a szinusztétel szögek kiszámítására! Az ABC háromszögben az a oldal hossza 17 cm, a b oldal hossza 21 cm, a b oldallal szemben fekvő $\beta $ szög pedig ${53^ \circ }$-os. Számítsuk ki a háromszög másik két szögének nagyságát!
A szinusztétel szerint $\frac{a}{b} = \frac{{\sin \alpha }}{{\sin \beta }}$ (ejtsd: a per b egyenlő szinusz alfa per szinusz béta), amelyet a megadott számokkal is felírhatunk.
Mindkét oldalt megszorozzuk $\sin {53^ \circ }$-kal (ejtsd: szinusz 53 fokkal), és kiszámítjuk a $\sin \alpha $ értékét.
Tudjuk, hogy a hegyesszögnek és a tompaszögnek is pozitív a szinusza, ezért a feladatnak elvileg két megoldása is lehetne.
De mégsem, hiszen az $\alpha $ szöggel szemközti oldal kisebb, mint a $\beta $ szöggel szemközti oldal, ezért az $\alpha $ is kisebb a $\beta $-nál. Az α tehát csak hegyesszög lehet! A számológép szerint a megfelelő szög körülbelül ${40,3^ \circ }$.
A háromszög harmadik szögét kivonással kapjuk meg.
A szinusztétel nem csak az alagút hosszának meghatározásában segít, számos más probléma megoldásában is bátran támaszkodhatsz rá!