Eltolás és pont körüli forgatás

Az egybevágósági transzformációk leírása az identikus transzformáció, a tengelyes és a középpontos tükrözés leírásával még nem teljes. Az említetteken kívül szót ejtünk még további két egybevágósági transzformációról. Ha ránézel a tanteremben az órára, akkor azt láthatod, ahogy az idő múlásával a mutatók egy közös pont körül elfordulnak. Vizsgáljuk meg a nagymutató pontjainak elmozdulását dél és negyed egy között!
A síkon a nagymutató hegyét az ABC háromszög szemlélteti.
Tekintettel arra, hogy a mutató alakja nem változik meg az elfordulás során, a következő megállapításokat tehetjük:
Az egymásnak megfelelő pontok távolsága az O ponttól ugyanakkora.
A mutató egy pontja, az O pont és a pont képe által meghatározott szög minden esetben azonos, jelen esetben ${90^ \circ }$.
A sík pontjain ilyen módon végrehajtott egybevágósági transzformációt pont körüli elforgatásnak nevezzük. A pont körüli elforgatáshoz meg kell adni a sík egy O pontját, az elforgatás középpontját, valamint egy $\alpha $ irányított szöget. Ekkor a sík pontjain értelmezett O pont körüli alfa szöggel való elforgatás az O ponthoz önmagát, míg a sík minden más P pontjához azt a $P'$ pontot rendeli, amire $OP = OP'$ távolság és az OP félegyenes alfa szöggel vett elforgatottja éppen az $OP'$ félegyenes. A definícióban szereplő irányított szög előjelét pozitívnak tekintjük, ha az óramutató járásával ellentétes elfordulást határoz meg, míg negatívnak, ha az óramutató járásával megegyezőt. A példánkban az elforgatás szöge tehát $ - {90^ \circ }$ volt. Mint azt talán már ki is találtad, a pont körüli forgatásnak egyetlen fix pontja a középpontja. Kivétel ez alól az az eset, amikor az elforgatás szöge ${360^ \circ }$ vagy annak többszöröse, hiszen ekkor a forgatás után az eredeti alakzatot hozza. A plusz vagy mínusz ${180^ \circ }$-os elforgatás az O pontra vonatkozó középpontos tükrözéssel egyezik meg. Ezenkívül csakúgy, mint a középpontos tükrözés esetén, az elforgatás is szög-, távolság- és körüljárási irányt tartó transzformáció.
A tanórák végeztével a tanáraidtól gyakran halhatod a figyelmeztetést, hogy toljátok be magatok után a széket. Vizsgáljuk meg a szék lábainak elmozdulását!
Az A, B, C, D, valamint a nekik megfelelő $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ pontok jelenítik meg a síkon a szék lábait.
A következő megállapításokat tehetjük:
Az egymásnak megfelelő pontok távolsága azonos nagyságú. Az egymásnak megfelelő pontok egymással párhuzamos egyeneseket határoznak meg. A pontok mind ugyanabba az irányba mozdulnak el.
A sík pontjain ilyen módon végrehajtott egybevágósági transzformációt párhuzamos eltolásnak nevezzük. A párhuzamos eltolás irányát és nagyságát megadhatjuk egy vektorral. Ekkor a v vektor által meghatározott párhuzamos eltolás a sík minden P pontjához olyan $P'$ pontot rendel, amire a $PP'$ irányított szakasz az adott v vektorral megegyező vektort határoz meg. A párhuzamos eltolást megadhatjuk úgy is, hogy megadunk egy P pontot és az eltolásával kapott $P'$ pontot. Ekkor a $\overrightarrow {PP'} $ irányított szakasz egyértelműen meghatározza a párhuzamos eltolás vektorát. Ha a párhuzamos eltolást egy nullvektortól különböző vektorral adjuk meg, akkor nincs fixpont. Könnyen belátható, hogy az adott vektorral párhuzamos egyenesek az eltolásra nézve invariánsak, továbbá, hogy a párhuzamos eltolás is szögtartó, távolságtartó és irányítástartó.