Műveletek eseményekkel

Biztosan te is szoktál kártyázni, társasozni vagy focizni a barátaiddal. A valószínűség-számítás kialakulásában a szerencsejátékok játszottak nagy szerepet. A matematikának ez az ága a XVII. században jött létre, főként a kockajáték hatására: a játékosok kérdéseket tettek fel egy ismert matematikusoknak a nyerési esélyekről. A valószínűség-számítás véletlen tömegjelenségekkel foglalkozik. Ezek olyan jelenségek, amelyeknek a kimenetelét nem tudjuk előre, és akárhányszor, azonos körülmények között megismételhetők. Az ilyen jelenség vizsgálata a kísérlet.
A kísérlet egy lehetséges eredménye az elemi esemény. Az összes elemi eseményből álló halmaz az eseménytér.
Az eseménytér egy részhalmazát eseménynek nevezzük.
Két kockával dobunk egymás után. Számít-e, hogy mit dobtunk az első kockával, amikor a másodikkal dobunk? A válasz természetesen nem. Ha két esemény nem befolyásolja egymást, azok független események.
Tegyük fel, hogy vettél egy lottószelvényt. A esemény: öttalálatos lesz a szelvényen. Biztosan tudod, hogy ennek az esélye nagyon csekély: kilencven számból ötöt húznak ki, a lehetőségek száma közel 44 millió. B esemény: a sorsolás napján négy számot már kihúztak, eddig mind a négy nyert. Megváltozott az ötös találat bekövetkezésének az esélye? Bizony, meg. Ha már négy szám megvan, az ötödiket a maradék 86-ból húzzák ki, ez 86 lehetőség. Jóval kevesebb, mint a 44 millió. A és B esemény nem független egymástól.
Legyen az A esemény az, hogy két kockával dobott számok összege 13. Mit gondolsz erről? Igen, ez lehetetlen, mert két hatos összege is csak 12. B esemény: két kockával dobott számok összege kisebb, mint 13. Ez biztosan bekövetkezik, úgy hívjuk, hogy biztos esemény. C esemény: egy kockával párosat dobunk. D esemény: egy kockával páratlan számot dobunk. Észreveheted, hogy ez a két esemény egymás ellentettje: C és D ellentett események. Egyszerre nem lehet páros és páratlan számot dobni, C és D egymást kizáró események is. Az események és a halmazok közötti kapcsolat az esemény értelmezésekor már felmerült. Az eseményalgebra minden fogalmának megtaláljuk a párját a halmazelméletben.
A halmazok között műveleteket is értelmeztünk. A következő példán keresztül azt nézzük meg, milyen műveleteket végezhetünk az eseményekkel! Egy osztály 28 tanulója közül kilencen kosárlabdaedzésre járnak, tizenketten hetente együtt fociznak. Van három tanuló, aki kosarazik és focizik is. Véletlenszerűen kiválasztunk 1 tanulót az osztályból, ez a kísérlet. Jelentse az A esemény azt, hogy a kiválasztott diák kosarazik, a B pedig azt, hogy focizik. Ekkor az $A + B$ esemény akkor következik be, ha a kiválasztott tanuló legalább az egyik sportot űzi. Az $A \cdot B$ esemény azt jelenti, hogy mindkét foglalkozáson részt vesz. Az $A - B$ esemény pedig akkor valósul meg, ha a kiválasztott gyerek kosarazik, de nem focizik.
Melyik esemény az A ellentettje? Az A esemény akkor következik be, ha kosarazik, tehát az ellentettje az lesz, hogy a kiválasztott diák nem kosarazik.
Az események összege, szorzata, különbsége megfeleltethető egy-egy halmazműveletnek.
Van a matematikának még egy területe, amelyik hasonlóan épül fel, ez a matematikai logika. A logikában a kijelentések (más néven állítások) felelnek meg az eseményeknek. Például az előző feladatban a B esemény tekinthető állításnak is: a kiválasztott tanuló focizik. Ha eseményként kezeljük, akkor azt mondjuk, hogy vagy bekövetkezik, vagy nem következik be. Ha állításnak fogjuk fel, akkor a logikai értéke lehet igaz vagy hamis.
Ami az események összege, az a halmazok uniója és az állítások diszjunkciója. Az események szorzata, a halmazok metszete és az állítások konjunkciója is megfelel egymásnak, mint ahogy az állítás ellentettje, a komplementer halmaz és az állítás tagadása is.
Láthattad, hogy az eseményalgebra, a matematikai logika és a halmazelmélet sok hasonlóságot mutat. Az ilyen típusú struktúra a Boole-algebra. Boole az 1800-as évek közepén foglalkozott ezzel a területtel. Munkásságára nem figyeltek fel a kortársai, halála után 70 évvel vált ismertté. A Boole-algebra egyik fontos jellemzője, hogy az állításoknak kétféle értéke lehet: igaz vagy hamis, 1 vagy 0. Innen pedig már csak egy lépés az elektronikus számítógép, ami a kettes számrendszert használja: ennek számjegyei 1 és 0. Boole, akit életében nem ismertek el, elméletével megteremtette a digitális korszak elméleti alapjait.