Az exponenciális egyenletek gyakorlati alkalmazása

Exponenciális folyamatokkal találkozhatsz a mindennapi életben és a tudomány több területén. A populációk növekedése, a rémhír terjedése vagy a radioaktív bomlás, a kamatos kamat mind-mind ilyen jelenségek. Ismerjük a változásokat leíró képleteket. A képletekben szereplő mennyiségeket exponenciális egyenlettel tudjuk kiszámolni. Nézzünk néhány példát!
2011-ben Japánban a 9-es erősségű földrengést szökőár követte. A természeti katasztrófa Fukusimában atomerőmű-balesetet okozott. Az erőműből nagy mennyiségben kijutott radioaktív anyagok több tíz kilométeres távolságig beszennyezték a környezetet. A baleset után 20 nappal az egyik reaktor közelében a talajvízben a jód-131 izotóp egységnyi tömegre jutó aktivitása 10 000-szerese volt a megengedettnek. A 131-es tömegszámú jód felezési ideje 8 nap. Hányszorosa volt az aktivitás a megengedett értéknek a baleset után 3 hónappal? 1 év alatt lecsökkent-e az egészségügyi határértékre?
A bomlástörvény szerint a radioaktív magok száma az időnek exponenciálisan csökkenő függvénye. Az aktivitás arányos a radioaktív atommagok számával, ezért az aktivitás is exponenciálisan csökken az idő függvényében. Számoljunk 30 napos hónapokkal! A 3 hónapból elveszünk 20 napot, marad 70 nap. A baleset után 3 hónappal az egészségügyi határérték 23,2-szerese (ejtsd: 23 egész 2 tizedszerese) volt a sugárzás.
A következő időszakban is nyolcnaponta feleződik az aktivitás. 40 nap alatt a megengedett érték 0,7 (ejtsd: 0 egész 7 tized) részére csökken. A 2. kérdésre tehát a válasz igen, az aktivitás az egészségügyi határérték alá csökkent a katasztrófa utáni 5. hónapban. A valóságban a talajvíz folyamatosan szivárog. A szennyezett víznek Japánban föld alatti gátakkal próbálták útját állni.
A radioaktivitás az idő függvényében exponenciálisan csökken. A levegő nyomása sem állandó, a magasság függvényében ugyancsak exponenciálisan csökken. A kilométerben megadott h magasságban uralkodó nyomást ezzel a képlettel számolhatjuk ki. A formulában szereplő e irracionális szám, közelítő értéke 2,718 (ejtsd: két egész 718 ezred). Az e, melyet Euler-féle számnak is neveznek, a felsőbb matematikában játszik fontos szerepet. Hány százaléka a levegő nyomása a tengerszinten mért légnyomásnak Kékestetőn, illetve a Csomolungmán?
Kékestető Magyarország legmagasabb pontja, a csúcs 1014 méter magas. Jelölje ${p_0}$ a 0 méterhez, p pedig az 1,014 (ejtsd: 1 egész 14 ezred) kilométerhez tartozó nyomást. $\frac{p}{{{p_0}}}$ (ejtsd: pé per pénull) 0,88-nak adódott, vagyis Kékestetőn a légnyomás 88%-a a tengerszinten lévőnek.
Lássuk a világ legmagasabb hegycsúcsát! Magassága 8848 m, azaz 8,848 (ejtsd: 8 egész 848 ezred) km. Ha ezzel a magassággal számolunk, a két nyomás hányadosa 0,32. A Mount Everesten a nyomás már csak 32%-a a 0 magassághoz tartozónak. Ez az oka annak, hogy a hegymászók többnyire oxigénpalackkal próbálják meghódítani a legmagasabb csúcsokat.
Moore (ejtsd: múr) törvénye szerint az egy processzorban található tranzisztorok száma kétévente megduplázódik. A grafikon függőleges tengelye nem lineáris, hanem úgynevezett logaritmikus skálájú: minden egység 10-szerese az előzőnek.
Az 1971-ben gyártott 4004-es processzor 2000 tranzisztort tartalmazott. Moore törvénye alapján hány tranzisztor van az 1985-ös 386-os CPU-ban és a 2000-ben megjelent Pentium 4-ben? Jelöljük a processzor tranzisztorainak számát 1971-ben ${n_0}$-lal (ejtsd: en null-lal), 1985-ben n-nel, az 1971 óta eltelt időt pedig t-vel. A képlet, amely leírja a törvényt: $n = {n_0} \cdot {2^{\frac{t}{2}}}$. (ejtsd: n egyenlő n null szor 2 a té per kettediken) t helyére 14-et írunk, n-t kiszámoljuk. 256 000-t kaptunk. Ez alig tér el a tényleges 275 000-től.
1971-től 2000-ig 29 év telt el. Ha ezt beírjuk a képletbe, 46 millió lesz az eredmény. A valóságban 42 millió tranzisztort tartalmazott a Pentium 4 processzor.
A törvény nem sokáig maradhat érvényben. A tranzisztorok mérete hamarosan az egy-két atomos tartományba csökkenhet, ami ennek a technológiának a végét jelenti.
Láthattad, hogy az exponenciális egyenletek sokféle probléma megoldását segíthetik. Példáinkat a fizika és az informatika területéről vettük, de folytathatnánk a sort a demográfiával, az orvostudománnyal, a pénzügyi számításokkal vagy éppen a biológiával.