A négyzetgyökvonás definíciója és azonosságai

Mozgasd az ingát! Vagy inkább keresztülfutnál egy sportpályán? A gyökvonást mindkettővel összefüggésbe hozhatod.
Egy téglalap alakú kézilabdapálya $40 \cdot 20$ (ejtsd: negyvenszer húsz) méteres. A gyerekeknek átlósan kell a pályát keresztülfutniuk. Hány métert kell így megtenniük? A pálya szélessége, hossza, valamint átlója egy derékszögű háromszöget alkot, amelynek átfogóját szeretnénk meghatározni. A Pitagorasz-tétellel számolunk.
Negyvennek a négyzete 1600, húsz négyzete 400. A kettő összege 2000. (ejtsd: kettőezer)
Tehát egy olyan számot keresünk, melynek négyzete kettőezer. Ezt a számot a 2000 (ejtsd: kettőezer) négyzetgyökének nevezzük. Értékét számológéppel, négyzetgyöktáblázattal vagy közelítéssel kapjuk meg. A gyerekeknek 44,72 (ejtsd: negyvennégy egész hetvenkettő század) métert kell futniuk.
Oldjuk meg az egyenleteket!
Az első egyenletnél olyan számokat keresünk, melyeknek a négyzete 16. A négy és a mínusz négy négyzete is 16, tehát ennek az egyenletnek két megoldása van.
Második egyenletünknek egy megoldása van, a nulla.
A harmadik egyenletnél egy olyan számot keresünk, melynek négyzete –25. Ilyen valós szám nincs. Mínusz 25-nek nincs négyzetgyöke a valós számok halmazán.
Minden eddigi feladatban olyan valós számot kerestünk, amelynek ismertük a négyzetét. Úgy is mondhatjuk, hogy négyzetgyököt vontunk. Megtapasztaltuk, hogy ez csak nemnegatív számok esetén volt megoldható. Négyzetgyököt vonni tehát csak nemnegatív számból lehet. Az egyértelműség kedvéért megegyezünk abban is, hogy egy szám négyzetgyöke ne legyen negatív. Egy nemnegatív a szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, melynek négyzete a.
Számoljuk ki a gyököket! Száznak a négyzetgyöke tíz. 18,49 (ejtsd: tizennyolc egész negyvenkilenc század) gyöke 4,3 (ejtsd: négy egész három tized). Ezer négyzetgyöke egy végtelen nem szakaszos tizedes tört.
Vannak számok, amelyeknek a négyzetgyöke racionális, és vannak olyanok, amelyeknek irracionális.
Számoljunk! Tudjuk, hogy 1600 négyzetgyöke 40. Ha az 1600-at szorzattá bontjuk, és tényezőnként vonunk gyököt, akkor is ugyanezt az eredményt kapjuk. Beláthatjuk, hogy bármilyen szorzat esetén hasonlóképpen járhatunk el.
Szorzatból tehát úgy is lehet négyzetgyököt vonni, hogy a tényezőkből külön-külön gyököt vonunk, majd az így kapott számokat összeszorozzuk.
Tudjuk, hogy $\sqrt {\frac{9}{{25}}} = \frac{3}{5}$. (ejtsd: kilenc huszonötöd négyzetgyöke háromötöd) Ha külön kiszámítjuk a számláló és a nevező négyzetgyökét, akkor is $\frac{3}{5}$ (ejtsd: három ötödöt) kapunk. Beláthatjuk, hogy bármely tört esetén hasonlóképpen járhatunk el.
Egy tört négyzetgyöke tehát egyenlő a számláló és a nevező négyzetgyökének hányadosával.
Vajon melyik kifejezés értéke nagyobb? Alakítsuk át a hatványozás és az előző azonosságok segítségével mindkét kifejezést! Az elsőnél $\sqrt 8 $-at (ejtsd: négyzetgyök nyolcat), a másodiknál $\sqrt 9 $-et (ejtsd: négyzetgyök kilencet) kapunk. Mivel a kilenc nagyobb a nyolcnál, a négyzetgyök három négyzete a nagyobb.
Az átalakítások során a négyzetgyökvonás és a hatványozás sorrendjét felcseréltük. Ezt máskor is megtehetjük.
Az azonosságok felhasználásával oldjunk meg néhány feladatot!
Végezzük el az összevonást! Először szorzattá bontjuk a négyzetgyök alatti számokat, és megpróbálunk a tényezőkből külön-külön gyököt vonni. Ez nagyon könnyű, ha az egyik tényező négyzetszám. Az így kapott tagok összevonhatók. Az eredmény $\sqrt 5 $. (ejtsd: négyzetgyök öt) A feladat megoldása közben egy fontos eljárással is megismerkedtünk, ez a gyökjel alóli kiemelés.
Határozzuk meg a kifejezés pontos értékét! A szorzat tényezőit egy közös gyökjel alá írhatjuk az első azonosság miatt. Innen hamar megkapjuk, hogy a kifejezés értéke egyenlő eggyel.
Adjuk meg a kifejezés értelmezési tartományát!
A kifejezés akkor értelmes, ha a gyökjel alatt nemnegatív szám áll. Ez kétféleképpen valósulhat meg: vagy mindkét tényező nemnegatív, vagy mindkét tényező nempozitív.
Az első egyenlőtlenség-rendszerből azt kapjuk, hogy x-nek –3-nál és 2-nél is nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie, tehát $x \ge 2$. (ejtsd: x nagyobb vagy egyenlő, mint kettő)
Hasonlóképpen oldjuk meg a második egyenlőtlenség-rendszert is.
Ez a gyök tehát értelmezve van a kettőnél nagyobb vagy egyenlő vagy a mínusz háromnál kisebb vagy egyenlő valós számokra.
Végül nézzük meg, mi a kapcsolat a gyökvonás és az inga között!
A fonálinga lengésidejét egy olyan képlet írja le, amely négyzetgyököt is tartalmaz. A fonálinga lengésideje függ a fonál hosszától és a nehézségi gyorsulás helyi értékétől.
Számoljuk ki, milyen fonálhosszúságú az az inga, amelynek lengésideje két másodperc! A nehézségi gyorsulás értéke Budapesten \({\rm{9}},{\rm{8}}0{\rm{85 }}\frac{m}{{{s^2}}}\). (ejtsd: 9 egész 8085 tízezred méter per szekundumnégyzet) Fejezzük ki l-et, vagyis a fonál hosszát a képletből! Azt kaptuk, hogy a fonál hossza valamivel kisebb, mint egy méter. Mivel a nehézségi gyorsulás értéke függ a mérés helyétől, ha máshol végezzük el a kísérletet, kaphatunk más eredményt is.