Hatványozás az egész számok halmazán

Ismered a sakk feltalálójának történetét? Bizonyára hallottad már. Arra kérte az uralkodót, hogy a sakktábla első mezejére egy, a másodikra kettő, a harmadikra négy búzaszemet rakjon, mindig duplázva az előző mennyiséget. Tudta teljesíteni a király ezt a kérést?
A búzaszemek száma a kettő hatványa szerint nő, így az utolsó mezőre akkora mennyiséget kellett volna rakni, amekkora nem is létezik!
Próbáljuk meg képlettel felírni ezt a számot! Kettő hatványai sorrendben: 2, 4, 8, 16; az utolsó mezőre $2 \cdot 2 \cdot 2...$ búza jutna, a kettőt összeszorozva önmagával 63-szor.
Ennél sokkal egyszerűbb írásmódot is használhatunk: ${2^{63}}$ (kettő a hatvanharmadikon), ami egy tizenkilenc jegyű szám.
${a^n}$ ( a az n-ediken) egy olyan n tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. Itt az a valós szám, n pedig pozitív egész. Az a-t nevezem a hatvány alapjának, n-et a kitevőnek, magát az eredményt hatványértéknek, hatványnak.
Minden szám első hatványa önmaga!
${4^3}$ (ejtsd: négy a harmadikon) egyenlő $4 \cdot 4 \cdot 4 $, vagyis 64. $\left( {\frac{3}{5}} \right)$ harmadik hatványa $\left( {\frac{27}{125}} \right)$, $ - 6$ négyzete 36.
Térjünk vissza a sakktáblára! Vajon az első mezőn lévő egy búzaszemet fel tudjuk-e írni 2 hatványaként? A 2 nulladik hatványa 1.
Tehát a definíció szerint ${3^0}$, ${\left( { - 2} \right)^0}$ vagy ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^0}$ (ejtsd: három a nulladikon, mínusz kettő a nulladikon vagy háromnegyed a nulladikon) egyaránt 1-gyel egyenlő. Tehát minden szám nulladik hatványa 1, kivéve a nulla a nulladikon, mert az nincs értelmezve!
A definíció kimondásakor a permanenciaelvre támaszkodtunk. Ha egy műveletet már definiáltunk egy számkörben, akkor az új számkörre való definiálását úgy kell végrehajtanunk, hogy a szűkebb számkörben érvényes azonosságok a bővebb számkörben is érvényben maradjanak.
A második hatványt négyzetnek, a harmadik hatványt köbnek is nevezzük. A négyzete minden valós számnak pozitív, nulla négyzete nulla.
A permanenciaelvet használva próbáljunk definíciót találni negatív egész kitevőjű hatványra is!
A búzaszemeknél már megnéztük 2 hatványait. Ahogy csökkentjük a kitevőket, a hatványérték mindig a felére változik.
Ha tovább csökkentem a kitevőt, 2 nulladik hatványa következik. Ez rendben van. Ha még tovább csökkentjük a kitevőt, ${2^{ - 1}}$ (ejtsd: kettő a mínusz elsőn)-re $\frac{1}{2}$-et kapunk.
${2^{ - 2}}$ (ejtsd: kettő a mínusz másodikon) egyenlő ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$ (ejtsd: egyketted a másodikon).
"Egy nullától különböző valós szám negatív hatványa egyenlő a szám reciprokának az egész kitevő ellentettjével vett hatványával."
Számoljuk ki! ${3^{ - 2}}$ (ejtsd: három a mínusz másodikon) egyenlő $\frac{1}{9}$, ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 3}}$ (ejtsd: kétharmad a mínusz harmadikon) egyenlő $\frac{{27}}{8}$.
Mivel egyenlő ${0^{ - 2}}$ (ejtsd: nulla a mínusz másodikon)? Nullának nem értelmezzük a negatív kitevős hatványát, hiszen nullát nem írhatunk a nevezőbe.
Próbáljuk meg felírni 10 különböző hatványait hatvány alakban! Tudjuk, hogy ${10^1}$ (ejtsd: tíz az elsőn) egyenlő tíz. Száz: ${10^2}$ Ezer: ${10^3}$ Egymillió: ${10^6}$ 10 nulladik hatványa 1. ${10^{ - 1}}$ (tíz a mínusz elsőn) $\frac{1}{{10}}$ ${10^{ - 4}}$ (tíz a mínusz negyediken) $\frac{1}{{10000}}$
A hatványozás definíciójának segítségével meghatározhatjuk az alábbi kifejezések értékét! ${\left( { - 7} \right)^3}$ (mínusz hét a harmadikon) mínusz 343-mal egyenlő, ${4^2}$ pedig 16. Ezeket szorozzuk össze! ${a^2}$ és ${a^{ - 2}}$ (ejtsd: a mínusz másodikon) szorzata 1. Harmadik példánkban a hatványokat írjuk fel a definíció szerint, majd a törtet egyszerűsítjük.
Melyik kifejezés a nagyobb? ${5^{ - 2}}$ öt a mínusz másodikon): $\frac{1}{{25}}$ ${2^{ - 5}}$ (kettő a mínusz ötödiken): $\frac{1}{{32}}$ A két törtnek ugyanakkora a számlálója, tehát a kisebb nevezőjű tört értéke lesz a nagyobb.
A hatványozásnak gyakran hasznát veszed tanulmányaid során. A fizikai, kémiai képletekben, csillagászati, gazdasági számításokban nélkülözhetetlen.
Hatványozással számolod ki a négyzet területét vagy a kocka térfogatát is. Nézd meg ezt a három kockát! Mi történik az élekkel? Először a duplájára, aztán a háromszorosára növeljük őket az eredeti 3 cm-hez képest. A térfogatot ${a^3}$ (ejtsd: a a köbön) adja meg, az egyes esetekben 27, 216 és $729{\rm{ }}c{m^3}$ (ejtsd: köbcentiméter). Hányszorosára nőtt az él? Először a kétszeresére, a térfogat pedig a nyolcszorosára. Második esetben az él a háromszorosára, a térfogat a 27-szeresére nőtt. Tehát ha az éleket a-szorosukra növeljük, a térfogat ${a^3}$-szorosára (ejtsd: a harmadikon-szorosára) változik!
Egy centiméter élű kis kockákból hányat rakjunk össze, hogy újabb kockát kapjunk? 8-at, 27-et, esetleg 64-et, de mindenképpen köbszám legyen! Remélem, te is szívesen forgatod az egyik leghíresebb magyar játékot, a Rubik-kockát!