Nevezetes azonosságok (négyzetre és köbre emelés)

Feladatokban gyakran találkozhatsz olyan képletekkel, melyek kiszámolása bizony hosszadalmas feladat. Lehetne rövidebben is számolni?
Nézzünk egy példát! Legyen két négyzet alakú térburkoló kövünk, az egyiknek az oldala egy centiméterrel hosszabb, mint a másiké. A két kő területének különbsége $19{\rm{ }}c{m^2}$. Mekkorák külön-külön?
Írjuk fel az egyenletünket! Láthatod, hogy mindkét tagban négyzetre emelés van. Az első tagot szorzattá alakítva, majd elvégezve a beszorzást, háromtagú összeggé tudod átalakítani a kifejezést.
Van esetleg ennél gyorsabb kiszámolási mód is, amelyet minden hasonló feladatnál tudnánk használni? Hogyan kellene két tag összegét vagy két tag különbségét négyzetre emelni?
Az összeszorzás helyett használhatod a képletet! Vedd az első tag négyzetét, majd az első és a második tag kétszeres szorzatát, és ehhez add hozzá a második tag négyzetét! Így megspórolod a levezetést.
Ha mindkét tag pozitív, tudjuk szemléltetni a képletet.
Hasonlóképpen vezetheted le két tag különbségének négyzetét is. Figyelj az előjelekre! A kétszeres szorzat előjele negatív lett. Az azonosság alkalmazásával nem kell végigszámolnod a kifejezést, elég, ha behelyettesítesz a képletbe.
Geometriai bizonyítása hasonló az előzőhöz, de itt a négyzetek egymásba vannak építve. Az egész négyzet területe ${a^2}$ (ejtsd: a a négyzeten), melyet most feldarabolunk 4 részre. Ha összeadod a területeket, tényleg ${a^2}$-et kapsz.
Ki lehet számolni ilyen egyszerűen két szám összegének vagy különbségének köbét is?
Ennek levezetése hosszadalmas, hiszen az összeget háromszor kell egymással szorozni. A bizonyításhoz felhasználjuk a négyzetre emelés képletét, majd a 3 tagot kettővel szorozva és az egyneműeket összevonogatva megkapjuk az azonosságot. Az $a + b$ oldalú kockán jól megfigyelhetjük, mit is jelent az $a + b$ összeg harmadik hatványa.
Hasonlóan számíthatjuk ki két tag különbségének köbét is. Ha összeg helyett különbséget veszünk, a képlet csak két előjelben különbözik!
Próbáld felírni az összefüggést változók segítségével! Lássuk két szám összegének és különbségének szorzatát! Legyen a két szám a és b. Összegük $a + b$, különbségük $a - b$, szorzatuk pedig ${a^2} - {b^2}$.
Nézzük át ismét az öt nevezetes azonosságot! Írjunk mindegyikre példát! Ezeket a képleteket jó, ha megtanulod, hiszen szükséged lesz rájuk.
Egyenletek megoldásánál, törtek egyszerűsítésénél, szöveges feladatok kiszámolásánál ezek nagyon fontos összefüggések. Gyakran szükségünk van a képletek megfordítására, vagyis a szorzattá alakításra is.
Szorzattá alakítani lehet kiemeléssel, ekkor minden tagból kiemeljük a közös szorzótényezőket. Mivel minden tagban 5 többszöröse található és minden tag osztható x-szel is, az 5x-et kiemeljük a zárójel elé. Ellenőrizni visszaszorzással tudsz.
Ennél kicsit hosszabb, ha a kiemelés előtt csoportosítod a tagokat és többszöri kiemelést alkalmazol.
A most megismert nevezetes azonosságokkal is szorzattá tudsz alakítani.
Gyakran ezeket a módszereket egyszerre érdemes alkalmaznod. Ennél a példánál először kiemelheted a $8{a^2}$-et, majd a zárójelen belül egy azonosságot ismerhetsz fel. Itt ismét szorzattá lehet alakítani!
Mi lesz ennek az egyenletnek a megoldása? Elsőre bonyolultnak tűnhet a kérdés, de ha észreveszed, hogy szorzattá alakíthatunk, nem lesz nehéz. Emeljük ki x-et a kifejezésből! A zárójelen belül egy nevezetes azonosság, két tag különbségének a négyzete ismerhető fel. Tudod, hogy egy szorzat akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0. Ez a kifejezés tehát akkor 0, ha $x = 0$ vagy $y = \frac{6}{5}$.
Ha megismered az azonosságokat, már tudsz válaszolni arra a kérdésre, hogy mekkorák a térburkoló kő méretei. Egyenletünk: ${\left( {x + 1} \right)^2} - {x^2} = 19$ (ejtsd: x + 1 a négyzeten mínusz x a négyzeten egyenlő 19) Az azonosságot felírva és átrendezve az egyenletet azt kapjuk, hogy a kövek 10 és 9 cm oldalhosszúságú négyzetek.