Valószínűség-számítás a gyakorlatban

Biztosan észrevetted, hogy a feladatgyűjteményekben nagyon sok pénzfeldobásra, kockadobásra, kártyaosztásra vonatkozó feladat van. Miért ezekkel a problémákkal gyakoroljuk ezt a témakört? Egyrészt ezek valódi, a hétköznapokban is felmerülő kérdések: gyakran kártyázunk, használunk dobókockát a játékokban. Másrészt matematikai szempontból egyszerűen leírható kísérletekről van szó. A pénzfeldobásnak két elemi eseménye van, mindkettő $\frac{1}{2}$ valószínűségű. Ha egy kockával dobunk, hat elemi esemény alkotja az eseményteret, mind egyenlő valószínűségek, $\frac{1}{6}$ ez az érték. Hasonlóan a helyzet a kártyával. Például, ha a magyar kártyából egy lapot választunk ki, harminckét elemi eseményünk lesz, bármelyiknek $\frac{1}{32}$ a valószínűsége.
Mekkora a valószínűsége, hogy a kockadobás eredménye prímszám? A 6-nál nem nagyobb számok között három prímszám van: a 2, a 3 és az 5. Bármelyiknek $\frac{1}{6}$ a valószínűsége, háromszor $\frac{1}{6}$ az $\frac{3}{6}$, egyenlő $\frac{1}{2}$. Úgy is számolhatunk, hogy megszámoljuk a kedvező eseteket és ezt osztjuk az összes lehetőséggel.
A klasszikus valószínűség-számítási modell olyan valószínűségi kísérletekre vonatkozik, amelyeknek véges számú elemi eseményük van, és ezek egyenlő valószínűségűek. A pénzérme feldobása, a kockadobás, egy kártyalap kihúzása a csomagból megfelel ezeknek a feltételeknek. Ilyen esetekben egyszerűen ki lehet számolni egy esemény valószínűségét. Ha az elemi események száma n, akkor egy elemi esemény bekövetkezésének a valószínűsége $\frac{1}{n}$. Ha az A esemény k darab elemi eseményből áll, a valószínűsége $\frac{k}{n}$. Szavakkal: a kedvező elemi események számát osztjuk az összes elemi esemény számával.
Nézzünk néhány példát a valószínűség kiszámítására! Egy ötvenkét lapos francia kártyából kihúzunk egy lapot. Legyen az A esemény az, hogy a kiválasztott lap pikk, a B pedig az, hogy király. Mit jelent az $A + B$ és az $A \cdot B$ esemény? Mennyi a valószínűségük? Emlékezz vissza: az események összege akkor valósul meg, ha legalább az egyik esemény bekövetkezik! Ebben a feladatban $A + B$ azt jelenti, hogy vagy pikket, vagy királyt, vagy pikk királyt húzunk. Tizenhárom pikk (köztük a király) van a pakliban és még három király. A kedvező esetek száma tizenhat. Az összes eset ötvenkettő (a jokerek nincsenek a pakliban). Az összeg valószínűsége $\frac{{16}}{{52}} = \frac{4}{{13}}$. Két esemény szorzatáról akkor beszélünk, ha mindkettő bekövetkezik, vagyis pikk királyt húzunk. Ez csak egyféleképpen valósulhat meg, a szorzat valószínűsége $\frac{1}{52}$.
Egy focimeccsen két játékos kő-papír-ollóval dönti el, hogy melyikük végezze el a szabadrúgást. Egyenlők az esélyeik? Te is úgy gondolod, hogy biztosan egyenlők, ha ilyen döntésekre alkalmas ez a játék? Számoljuk meg a lehetőségeket! Összesen kilencféleképpen végződhet egy menet: mindkét játékos háromféleképpen nyerhet a kilencből és három döntetlen lehet. Ilyenkor megismétlik a játékot.
Mennyi a valószínűsége, hogy ötször egymás után ugyanazt mutatja a két focista? A kedvező esetek száma ${3^5}$, az összes eset ${9^5}$. Ha egyszerűsítünk, az eredmény ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^5}$, közelítőleg 0,004.
Sok társasjátékot csak akkor lehet elkezdeni, ha hatost dobunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy harmadszorra sikerül hatost dobni? Az összes eset $6 \cdot 6 \cdot 6$, mert mindhárom dobás hatféle lehet. Kedvező esetek alatt most azt értjük, hogy az első és a második próbálkozás nem hatos, a harmadik hatos. $k = 5 \cdot 5 \cdot 1$. A valószínűség $\frac{25}{216}$, 11,6%.
Láthatod, hogy a kedvező és az összes eset gyakran a kombinatorika segítségével számolható ki. Emiatt kombinatorikus modellnek is hívják a most tárgyalt módszert. Ez nem alkalmazható akkor, ha az elemi események különböző valószínűségűek. Például a dobókocka elődei különféle faragott csontocskák voltak. Ezek nem ugyanolyan eséllyel estek egy-egy lapjukra. Csontocskák azonban nem szerepelnek a középiskolai matematika példákban.
Ha az a feladatod, hogy számold ki valamilyen esemény valószínűségét, először mindig erre a képletre gondolj!