Nagy számok törvénye – A valószínűség fogalma

Valószínűleg vihar lesz, siessünk! Nem valószínű, hogy én felelek. Kicsi a valósszínűsége, hogy ötös lesz a matekdogám. Tapasztalataink alapján tehetünk ilyen kijelentéseket: meg tudjuk ítélni, hogy bizonyos jelenségek bekövetkezésének mekkora az esélye. Az ötös dolgozat matematikai valószínűségét persze nem tudjuk kiszámolni. A valószínűség-számítás olyan események bekövetkezési valószínűségét vizsgálja, amelyeket ugyanolyan körülmények között, akárhányszor megismételhetünk. Szerencsére a dolgozatírás nem ilyen. A pénzfeldobás és a kockavetés megfelelnek a feltételeknek, ezeket vizsgáljuk meg!
A pénzfeldobás régi, pártatlannak tartott döntési eszköz. Perlekedések, sportmérkőzések, esetenként választások múltak és múlnak rajta. Azért alakult ez így, mert tapasztalataink szerint a fej és az írás dobásának ugyanannyi az esélye. Számoljunk utána! Dobjuk fel ugyanazt a pénzérmét egymás után negyvenszer, és vizsgáljuk meg, hányszor dobtunk fejet!
A gyakoriság oszlopa azt mutatja, hogy az addigi dobások közül hány fej volt. Azt várjuk, hogy körülbelül a dobások fele fej legyen. Hogy ez a dobássorozat mennyire felel meg az elvárásainknak, könnyen ellenőrizhetjük a relatív gyakoriság segítségével. Ezt úgy kapjuk meg, hogy minden dobás után megnézzük, hogy a dobások hányad részében dobtunk eddig fejet. Vagyis elosztjuk a fejek számát az összes dobás számával. Ábrázoljuk a relatív gyakoriság változását diagramon!
Azt várjuk, hogy a dobások fele fej, vagyis a relatív gyakoriság 0,5. Ez a görbe elég ingadozó, nagy kilengések vannak rajta.
Negyven dobás nem túl sok, nézzünk egy kicsit többet! Ez a táblázat egy másik, ötezer dobásos kísérlet részletét mutatja. A relatív gyakoriságot minden 10. dobás után számoljuk ki, az így kapott számok alapján készültek a következő grafikonok.
Ha kétszáz dobás eredményét figyeljük meg, az ingadozások kisebbek, de nem meggyőző a közeledés a 0,5-hez.
Mind az ötezer dobás vizsgálatakor még mindig nem teljesen egyenes a kapott görbe az ötezer közelében sem, de a kilengések láthatóan egyre kisebbek. Megfigyeltük, hogy minél többször végezzük el a kísérletet, azaz a pénzfeldobást, a fej dobásának (és ezzel együtt az írás dobásának) a relatív gyakorisága egyre kevésbé tér el a 0,5-től.
Az A eseménynek most azt fogjuk tekinteni, hogy a pénzérmével fejet dobunk. Azt a számot, amely körül az A esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűségének nevezzük. Jele P(A). Tehát a fej dobásának, ezzel együtt az írás dobásának a valószínűsége 0,5.
Más valószínűségi kísérletekben is azt tapasztaljuk, hogy ha egy kísérletet elég sokszor elvégzünk, akkor az esemény relatív gyakorisága egyre jobban megközelít egy adott értéket. Ez a nagy számok törvénye.
A dobókocka története az emberiség történetével egyidős. Használták jóslásra és játszottak vele. Ma is nélkülözhetetlen kelléke a társasjátékoknak.
Tudjuk, hogy a szabályos dobókockával mind a hat szám dobásának ugyanannyi az esélye: $\frac{1}{6}$. Biztos, hogy így van? Dobjunk fel sokszor egy kockát és számoljuk meg, az esetek hányad részében kapunk például ötöst!
A kísérletet tízezerszer végeztük el, az első dobások eredményét mutatja a táblázat.
Megszámoljuk az ötösök előfordulását minden 10. dobás után.
Száz dobás eredménye még elég nagy ingadozásokat mutat.
Az ezer dobáshoz tartozó grafikon kezd kiegyenesedni a vége felé.
Ha mind a tízezer dobást figyelembe vesszük, az eredmény igazolja a várakozásainkat: sok dobás esetén a relatív gyakoriság századra kerekítve 0,17.
A kockadobás is megerősítette a nagy számok törvényét: minél többször végzünk el egy kísérletet, az esemény relatív gyakorisága annál inkább közelít egy számhoz. Ez a szám az esemény valószínűsége.
Milyen tulajdonságai vannak a valószínűségnek? A relatív gyakoriság, így a valószínűség is 0 és 1 közötti szám lehet. 0 a valószínűsége a lehetetlen eseménynek, 1 a valószínűsége a biztos eseménynek. Ha két esemény kizárja egymást, akkor annak a valószínűsége, hogy valamelyik bekövetkezik, egyenlő a valószínűségek összegével. Ez azt is jelenti, hogy bármely eseménynek és a komplementerének együtt 1 a valószínűsége. A nagy számok törvényét Jacob Bernoulli fedezte fel a XVII. században. A valószínűség modern elméletét Kolmogorov teremtette meg 300 évvel később.