Szöveges feladatok a négyzeten

Nézzünk néhány példát másodfokú egyenletre, illetve egyenletrendszerre vezető szöveges feladatra! Egy sakktorna első körében minden résztvevő játszik egy partit mindenkivel. Hányan indultak a tornán, ha összesen 15 partit játszottak le?
Gyűjtsük ki az adatokat! Jelöljük a résztvevők számát x-szel! A kérdés az, hogy írható fel x-szel a lejátszott partik száma. Számoljuk össze! x versenyző esetén egy játékos – mivel önmagával nem játszik – összesen $x - 1$ partit játszik. Ez igaz minden indulóra. Így azt mondhatnánk, hogy x induló esetén összesen $x \cdot \left( {x - 1} \right)$ (ejtsd: x szer x mínusz 1) parti zajlott le. Biztos ez? Nem. Ebben a gondolatmenetben minden egyes partit kétszer számoltunk, egyszer az egyik, egyszer a másik fél felől. A helyes számot tehát az $\frac{{x \cdot \left( {x - 1} \right)}}{2}$ (ejtsd: x szer x mínusz 1 per 2) hányados szolgáltatja. Tudjuk, hogy a hányados 15-tel egyenlő, így felírható a következő egyenlet. Mivel a versenyzők száma csak pozitív egész szám lehet, az értelmezési tartomány a pozitív egész számok halmaza. Végezzük el a műveleteket, és oldjuk meg a kapott másodfokú egyenletet! A megoldóképletből kapott $x = -5$ nem eleme az értelmezési tartománynak, így csak az $x = 6$ a feladat megoldása. A 6 versenyző mindegyike 5 mérkőzést játszott, összesen tehát $\frac{{6 \cdot 5}}{2} = 15$ (ejtsd: hatszor öt per kettő egyenlő tizenöt) partit játszottak le az első körben. Így tehát 6 versenyző indult a sakktornán.
Lássunk egy másik példát! Ábel és Vince azt a feladatot kapták, hogy rakják rendbe a kertet. Ha mindketten dolgoznak, 6 óra alatt tudják teljesíteni a rájuk bízott feladatot. Ha külön dolgoznak, akkor a munka elvégzéséhez Ábelnek 5 órával több időre van szüksége, mint Vincének. Mennyi idő alatt tudják teljesíteni a feladatot külön-külön?
Foglaljuk táblázatba az adatokat! Az felső sorban szerepeljen az Ábel, a Vince, illetve az Együtt címszó, míg az első oszlopban a teljes munkához szükséges idő, illetve az egy óra alatt elvégzett munka. Tudjuk, hogy együttes munkával 6 órára van szükségük, így egy óra alatt a munka 1/6 részével végeznek. Jelöljük most x-szel azt az időt, amelyre Vincének van szüksége a teljes munkához! Egy óra alatt így a munka 1/x-ed részével végez. Mivel Ábelnak 5 órával több időre van szüksége, x + 5-öt, illetve $\frac{1}{{x + 5}}$ (ejtsd: 1 per x plusz 5)-öt írhatunk a táblázat megfelelő helyére. Ha összeadjuk a két fiú külön-külön egy óra alatt elvégzett munkáját, akkor az egy óra alatt közösen végzett munkát kapjuk meg, amiről tudjuk, hogy $\frac{1}{6}$. (Így az 1 per x plusz 5, plusz 1 per x egyenlő egyhatod egyenletre jutunk.) Mivel x munkaórát jelöl, csak pozitív szám lehet. A nevezőkkel beszorozva, majd a műveleteket elvégezve másodfokú egyenletet kapunk. Ennek megoldásai a 10 és a –3. (mínusz három) Ezek közül csak a 10 eleme az értelmezési tartománynak, így tehát Vince 10 óra alatt, míg Ábel 15 óra alatt végezne egyedül a ház körüli teendőkkel. Ellenőrzésnél adjuk össze Vince és Ábel teljesítményét! Vince egy óra alatt a munka $\frac{1}{{10}}$ részét, Ábel egy óra alatt a munka $\frac{1}{{15}}$ részét végzi el. Ketten együtt $\frac{1}{{6}}$ résszel végeznek, vagyis tényleg 6 óra alatt vannak készen, ha együtt dolgoznak. A megoldás helyes.
Rozinak egy 360 oldalas könyvet kellett elolvasnia irodalomórára. Utólag úgy számolt, hogy ha napi 30 oldallal többet olvasott volna, akkor 2 nappal hamarabb ért volna a végére. Hány nap alatt végzett Rozi a könyvvel?
Foglaljuk táblázatba az adatokat! A felső sorban jelöljük az egyik, illetve a másik esetet, míg az első oszlopban a naponta olvasott oldalak számát és a teljes ráfordított időt! Jelöljük az első esetben a napi oldalszámot x-szel, míg a szükséges időt t-vel! Természetesen mindkettő csak pozitív szám lehet. Ekkor a második esetben a napi oldalszám $x + 30$-nak, míg a szükséges idő t – 2-nek (ejtsd: té mínusz kettőnek) adódik. Ha a naponta elolvasott oldalak számát megszorozzuk a napok számával, mindkét esetben 360-at kell kapnunk. Így egy másodfokú egyenletrendszerhez jutottunk. Az első egyenletből x-et kifejezve és behelyettesítve a második egyenletbe egy másodfokú egyenletet kapunk. Ennek megoldásai a 6 és a –4. Mivel a –4 napnak nincs értelme, a megoldás a $t = 6$. Az első egyenletből megkapjuk, hogy $x = 60$. Nézzük az ellenőrzést! Rozi tehát 6 nap alatt olvasta ki a könyvet.