A számok normálalakja

Az újságokban, könyvekben gyakran olvashatsz olyan nagy vagy kicsi számokról, amelyek leírása csupán számjegyekkel túlságosan bonyolult volna. Gondolj csak bele, mi lenne, ha ezt látnád: Sokan hirtelen ki sem tudnák mondani ezt a számot, pedig ennél sokkal nagyobb számokkal is találkozhatsz, ha csillagászati könyveket olvasol. Gyakran nagyon kicsi számokkal is kell dolgoznod. Ha még műveleteket is kell végezned velük, nincs könnyű dolgod.
Hogyan tudnánk kezelni ezeket a számokat? Próbáljuk meg táblázatba foglalni tíz néhány nevezetes hatványát. Vannak, amelyeket a tudományokban külön névvel is elláttak, például tera, giga, milli, nano és így tovább. Jó, ha ezeket megjegyzed.
Így már sokkal könnyebb dolgunk lesz a szám kimondásakor. A kilenc darab nulla azt jelenti, hogy becslések szerint százhét milliárd ember élt napjainkig a Földön. Hogyan írnád le ezt a számot? Ez a huszonegy milliomod. Azonban így még mindig bonyolult a számolás. Ha ismered tíz hatványainak elnevezéseit, az sokat segít abban, hogy egy fizikai vagy kémiai feladatot könnyen, gyorsan át tudj gondolni, és ne okozzon nehézséget az adatokkal való számolás.
Nincs tíz minden hatványának neve, ezért kell keresnünk egy olyan alakot is, amellyel minden óriási és apró számot kezelhetünk. Írjuk fel a százhétmilliárdot szorzat alakban, tíz megfelelő hatványának segítségével. Addig lépegessünk a tizedesvesszővel, amíg eljutunk egy 1 és 10 közötti számig. Itt ez a szám az egy egész hét század. Láthatod, hogy a tizedesvesszővel tizenegyet kellett balra mennünk, ebből tudjuk, hogy tíznek a tizenegyedik hatványával kell szoroznunk. Ezt az alakot a szám normálalakjának nevezzük.
Nézzünk egy másik példát. Tudod-e, jelenleg mennyien élnek a Földön? Persze pontos adatot nehéz mondani, de a Föld lakossága már átlépte a hétmilliárdot. Hétmilliárd szorzatként felírva: hétszer tíz a kilencediken, tehát a hétmilliárd normálalakja a hétszer tíz a kilencediken.
Egy tudományos folyóiratban olvashatjuk a következő szöveget:
„Karl Stetter mikrobiológus és kollégái 2002 májusában egy új mikroba felfedezését jelentették be, amely mindössze 400 nanométer átmérőjű, s egy másik mikrobán él. Az új faj minden eddiginél kisebb genetikai állománnyal rendelkezik.”
Mekkorának is képzeljük el ezt a 400 nanométert? Egy nanométer tíz a mínusz kilencediken méter, tehát 400 nanométer négyszázszor tíz a mínusz kilencediken méter. Ennyi a mikroba átmérője. A normálalakkal ezután sokkal könnyebben tudunk számolásokat végezni. A négyszázat normálalakba átalakítva és tíz hatványait összevonva azt kapjuk, hogy négyszer tíz a mínusz hetediken.
Egy nullától különböző pozitív szám normálalakját megkapjuk, ha felírjuk egy egynél nagyobb vagy eggyel egyenlő, de tíznél kisebb pozitív szám, valamint a tíz megfelelő hatványának szorzataként. Tehát: hatvanhétmillió egyenlő hat egész hét tizedszer tíz a hetediken. Ezt a sok nullát tartalmazó számot szinte ki sem tudjuk mondani, csak úgy, hogy kilenc egész nyolc tizedszer tíz a mínusz tizenegyediken.
Negatív számokkal is hasonlóan dolgozunk. A tíz kitevőjébe mindig azt a számot írjuk, ahány helyi értékkel eltoltuk a tizedesvesszőt jobbra vagy balra. Egy szám normálalakján értjük az a-szor tíz a káadikon alakú szorzatot, ahol a egy valós, k pedig egy egész szám. Az a valós szám abszolút értéke nagyobb vagy egyenlő, mint egy és kisebb, mint tíz. A k számot nevezzük az eredeti szám karakterisztikájának, ez segít bennünket abban, hogy össze tudjuk hasonlítani a mennyiségeket. A csillagászatban gyakran kell becslésekre hagyatkoznunk, olyan hatalmas számokkal van dolgunk. Legtöbbször csak mennyiségi összehasonlításokat tehetünk. Ki tudná azt pontosan megmondani, hogy hány csillag van az égen, pedig sokan kíváncsiak rá. A normálalakkal megbecsülhetjük a számok nagyságrendjét.
Hogyan számolunk számológép nélkül normálalakban megadott számokkal? Ehhez a hatványozás azonosságait kell használnunk. Szorzásnál és osztásnál először az egy és tíz közé eső abszolútértékű számokkal végezzük el a műveleteket, majd a tíz hatványaira alkalmazzuk a megfelelő azonosságokat.
Számológép nélkül összeadni és kivonni normálalakban megadott számokat akkor tudunk, ha a karakterisztikájuk megegyezik. Ha az nem azonos, akkor olyan szorzatként írjuk fel őket, ahol a tíz hatványai megegyeznek. Az ötször tíz a tizenharmadikon felírható ötszázszor tíz a tizenegyediken alakban, így már összeadható a három és az ötszáz. A végeredmény ötszázháromszor tíz a tizenegyediken, azaz öt egész három századszor tíz a tizenharmadikon.
Ha ilyen nagy vagy kicsi számokkal kell számolnod, jó, ha tudod a számológépedet is használni. Próbáljuk meg géppel elvégezni a következő műveletet: Hasonlót fogsz látni a gép kijelzőjén. Ez azt jelenti, hogy az eredmény egy egész nyolc tizedszer tíz a harminckettediken. A használati utasításból megtudod, a számológéped hogyan jeleníti meg a számokat normálalakban.
Láthatod, hogy a normálalak használatára a mindennapi életben is gyakran szükséged lehet, és bizony jó, ha tudsz műveleteket is végezni vele. Így már könnyen boldogulsz a földrajzi, fizikai, kémiai vagy akár gazdasági számításoknál.