Egyenletek megoldása logaritmussal

Több olyan problémával is találkozhattál már, amiknek a megoldásában a logaritmus segített. Ilyenek lehettek az exponenciális vagy logaritmusos jelenségekkel, folyamatokkal kapcsolatos kérdések, feladatok is.
A következőkben áttekintünk néhány típusfeladatot és azok megoldásait.
Először olyan exponenciális egyenlet megoldásáról lesz szó, amiben a logaritmusra is szükség van.
Oldjuk meg $3 \cdot {2^{4x - 5}} = 15$ egyenletet a valós számok halmazán! Először célszerű mindkét oldalt 3-mal osztani.
A következő lépésben használhatjuk a kettes alapú logaritmus definícióját, de más gondolatmenetet is. Az első módszert már többször alkalmaztuk, most nézzük a másikat!
Ha két pozitív szám egyenlő, akkor egyenlő a tízes alapú logaritmusuk is.
Az egyenlet bal oldalát a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság alapján más alakban is írhatjuk. Ez egy elsőfokú egyismeretlenes egyenlet, ennek megfelelően a mérlegelvvel folytathatjuk a megoldást. Az egyenlet gyöke közelítőleg 1,83. A megoldást ellenőrizhetjük behelyettesítéssel is. Nem 15-öt kapunk a bal oldalon, ennek az az oka, hogy a megoldás során kerekítést is alkalmaztunk.
Második példánkban a logaritmus azonosságait kell segítségül hívnunk. Oldjuk meg a pozitív valós számok halmazán a $\lg x + \lg \left( {x + 3} \right) = 1$ egyenletet!
Az egyenlet bal oldalán két azonos alapú logaritmus összege áll. Erre alkalmazhatjuk a tanult azonosságot. Tehát egy számnak a tízes alapú logaritmusa 1-gyel egyenlő. Ilyen szám csak egy van, a 10.
A zárójel felbontása után kiderül, hogy egy másodfokú egyenlethez jutottunk. Ezt megoldóképlettel oldjuk meg. Két gyököt kapunk. Közülük a negatív nem lehetséges, hiszen a pozitív számok halmazán kerestük a megoldást. Tehát csak a 2 lehet megoldása az eredeti egyenletnek, ezt behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.
Harmadik példaként egy bonyolultnak látszó egyenletet oldunk meg.
Mielőtt nekilátnánk a megoldásnak, máris elmondhatjuk, hogy csak a pozitív számok között érdemes megoldást keresnünk. Ennek az az oka, hogy csak pozitív számoknak van logaritmusuk, és az egyenlet bal oldalán álló első tag éppen az x logaritmusával egyenlő.
Kétféleképpen is elindulhatunk. Mindkét megoldás a logaritmus azonosságait használja.
Lássuk az első indítását és a további lépéseket is! A szorzat logaritmusára vonatkozó azonosságot alkalmazzuk az egyenlet bal oldalán álló első három tagra. Használjuk az azonos alapú hatványok szorzására vonatkozó azonosságot, majd a hányados logaritmusára vonatkozó azonosságot alkalmazzuk.
A kettes alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton, ezért az egyenlőség pontosan akkor lehetséges, ha ${x^2} = 64$.
Egy pozitív és egy negatív gyököt kapunk, de az eredeti egyenletnek csak pozitív szám, vagyis a 8 lehet a megoldása. Behelyettesítéssel ezt is ellenőrizhetjük.
A másik megoldás indításában a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot alkalmazzuk a második, harmadik és negyedik tagra.
A bal oldalon összesen 2-szer áll, a jobb oldalon pedig 6, mert $64 = {2^6}$.
A logaritmus definícióját alkalmazva ismét a 8-at kapjuk megoldásként.
A harmadik példa mindkét megoldása jó, nincs olyan szempont, amelyik szerint az egyiket vagy a másikat lenne célszerűbb választani. Mindkét megoldás gyorsan és biztonságosan célhoz vezet, ha kellően körültekintő vagy.
A bemutatott példákon kívül még számos könnyebben és nehezebben megoldható exponenciális vagy logaritmusos egyenlettel találkozhatsz. A hatványozás azonosságai, a logaritmus definíciója és a logaritmus azonosságai a legtöbb esetben téged is elvezetnek a sikeres megoldáshoz.