Kapcsolat az exponenciális és a logaritmusfüggvények között

A matematika leggyakrabban két halmaz elemei közötti kapcsolatokkal foglalkozik. Általában a kiindulási halmaz elemeinek egy másik halmaz elemeivel való kapcsolatát szoktuk vizsgálni. A kiindulási halmaz elemei kapcsolatban vannak a másik halmaz valamelyik vagy akár több elemével is.
Ha a kiindulási halmaz mindegyik eleme csak egy elemmel van kapcsolatban, akkor azt mondtuk, hogy ez egyértelmű megfeleltetés, más szóval függvény. Ebben az esetben a kiindulási halmazt a függvény értelmezési tartományának, az érkezési halmazt a függvény képhalmazának nevezzük.
A függvények között különlegesek azok, amelyek kölcsönösen egyértelműek is. Milyenek ezek a függvények?
Az első példa a valós számok és a négyzeteik közötti kapcsolat. Az világos, hogy a 0-hoz a 0 tartozik, a 4-hez a 16, a 3,2-hez (ejtsd: 3 egész 2 tizedhez) a 10,24 (ejtsd: 10 egész 24 század), a –5-höz a 25. Tehát a kapcsolat egyértelmű.
Ha azonban azt kérdezzük, hogy melyik számnak a négyzete a 9, akkor máris láthatjuk, hogy erre két válaszunk is van, a 3 és a –3. Ezt mutatja a kapcsolatot leíró $x \mapsto {x^2}$ (ejtsd: x nyíl x négyzet) függvény grafikonja. Minden pozitív számhoz két olyan szám tartozik, amelyeknek az a négyzete: egy pozitív és egy negatív szám. A kapcsolat tehát nem kölcsönösen egyértelmű. A nem kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot jól szemlélteti a halmazábra.
A második példa a valós számok és a 2 hatványainak kapcsolata. Minden valós számhoz, azaz minden kitevőhöz tartozik a 2-nek egy hatványa. Például a 4-hez a ${2^4}$ (ejtsd: 2 a negyediken), vagyis a 16, a –3-hoz a ${2^{ - 3}}$ (ejtsd: 2 a mínusz harmadikon), vagyis az $\frac{1}{8}$.
Ha most megfordítva azt kérdezzük, hogy melyik kitevő tartozik a 128-hoz, akkor a válasz 7, mert ${2^7} = 128$ (ejtsd: 2 a 7-diken). Ha azt kérdezzük, hogy melyik kitevő tartozik a 0,25-hoz (ejtsd: 0 egész 25 századhoz), akkor a válasz –2, mert ${2^{ - 2}} = \frac{1}{4} = 0,25$. (ejtsd: 2 a mínusz másodikon egyenlő egy negyed egyenlő nulla egész huszonöt század) És ha azt kérdezzük, hogy melyik szám tartozik 20,8-hez (ejtsd: 20 egész 8 tizedhez), akkor a válasz ${\log _2}20,8$ (ejtsd: kettes alapú logaritmus 20 egész 8 tized), mert ez éppen azt a kitevőt jelenti, amelyre a 2-t hatványozva eredményül 20,8-et kapunk. Egyetlen megfelelő kitevő van, a közelítő értéke 4,3785 (ejtsd: 4 egész 3785 tízezred).
A valós számok és a 2 hatványai közötti kapcsolat oda-vissza egyértelmű, vagyis kölcsönösen egyértelmű. Ezt mutatja a 2-es alapú exponenciális függvény grafikonja. Az ilyen típusú megfeleltetések jól szemléltethetők halmazábrával. Látható, hogy ha a megfeleltetés irányát megfordítjuk, akkor is egy függvényt kapunk, de az értelmezési tartomány és az értékkészlet szerepe felcserélődik.
A kettes alapú exponenciális függvényből éppen úgy keletkezett a kettes alapú logaritmusfüggvény, hogy a fordított irányú kapcsolatot, idegen szóval az inverz kapcsolatot is megjelenítettük egy függvénnyel.
A kettes alapú exponenciális függvény és a kettes alapú logaritmusfüggvény inverz kapcsolatban van egymással.
Ez a kapcsolat szépen megjelenik, ha a két függvény grafikonját közös koordináta-rendszerben ábrázoljuk: a két grafikon egymásnak tengelyes tükörképe az $y = x$ egyenletű egyenesre nézve.
Ez nem csak a kettes alap esetén igaz. Az azonos alapú exponenciális és logaritmusfüggvények grafikonja tengelyesen tükrös az $y = x$ egyenletű egyenesre nézve. A két függvény egymásnak inverz függvénye.
Figyeld meg, hogy egy függvénynek és az inverz függvényének a monotonitása megegyezik. Ezt láthatod például az $\frac{1}{2}$ alapú exponenciális függvény és az $\frac{1}{2}$ alapú logaritmusfüggvény esetében is.
Foglaljuk össze! Ha egy függvény kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít az értelmezési tartománya és az értékkészlete között, akkor van inverz függvénye.
Ha egy függvényt és az inverz függvényét közös koordináta-rendszerben ábrázoljuk, akkor a grafikonjuk szimmetrikus az $y = x$ egyenletű egyenesre nézve. Ez fordítva is igaz: ha két függvény grafikonja tükrös az $y = x$ egyenletű egyenesre, akkor ezek inverz függvények.
A hétköznapi kapcsolatoktól messzire kalandoztunk, de a hétköznapokban is használható ismeretekkel találkoztunk. Elég, ha csak a személyi számokra és a számokhoz tartozó emberekre vagy az autókra és a rendszámaikra gondolsz, és máris a kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésekhez érkeztél.