A logaritmusfüggvények

Eddigi tanulmányaid során már láthattad, hogy a környezetedben is vannak olyan jelenségek, amelyek logaritmussal írhatók le. Ezek azt jelzik, hogy szükség van a logaritmus részletesebb vizsgálatára, a logaritmusfüggvények megismerésére is.
Nézzük először a 2-es alapú logaritmusfüggvényt! Csak a pozitív számoknak van logaritmusuk, ezért a logaritmusfüggvény értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza. A függvény hozzárendelési szabálya: $x \mapsto {\log _2}x$ (ejtsd: x nyíl 2-es alapú logaritmus x), vagyis minden pozitív számhoz hozzárendeljük a 2-es alapú logaritmusát.
Határozzunk meg néhány pontot a függvény grafikonján! A legegyszerűbb, ha a 2-nek az egész kitevőjű hatványainál számítjuk ki a függvényértékeket.
Számológépünk segítségével tetszőlegesen sok pontot határozhatunk meg. Ilyen módon kirajzolódik a 2-es alapú logaritmusfüggvény grafikonja.
A grafikonja alapján a függvény jellemzőit már könnyen megállapíthatjuk. Értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza, értékkészlete a valós számok halmaza. A függvény szigorúan növekedő, nincs legkisebb és legnagyobb függvényértéke. Zérushelye az 1.
Az $\frac{1}{2}$ (ejtsd: egyketted) alapú logaritmusfüggvény ábrázolását is annak néhány pontjával kezdjük.
Számológépünkkel ismét sok pontot meghatározhatunk, végül kirajzolódik a függvény grafikonja.
A grafikonja alapján a függvény jellemzői a következők: Értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza, értékkészlete a valós számok halmaza. A függvény szigorúan csökkenő, nincs legkisebb és legnagyobb függvényértéke. Zérushelye az 1.
Az általánosabb vizsgálathoz rajzoljuk meg néhány logaritmusfüggvény grafikonját közös koordináta-rendszerben! A függvények hozzárendelési szabálya $x \mapsto {\log _a}x$ (ejtsd: x nyíl á alapú logaritmus x), ahol $a > 0$ (ejtsd: á nagyobb, mint 0) és $a \ne 1$ (ejtsd: á nem egyenlő 1-gyel). Mindegyik függvény értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza, értékkészlete pedig a valós számok halmaza. Ha a logaritmus alapja 1-nél nagyobb, akkor a logaritmusfüggvény szigorúan növekedő, ha pedig az alap 1-nél kisebb pozitív szám, akkor szigorúan csökkenő. A grafikonok közös pontja az (1; 0) (ejtsd: 1, 0) pont, mert az 1-nek mindegyik logaritmusa 0. Az 1 tehát mindegyik logaritmusfüggvénynek zérushelye.
Van egy igazán meglepő dolog, amelyet érdekességként említünk meg. Először gondold végig, hogyan is számoltad ki a tízes alapú logaritmus segítségével például a ${\log _2}7$-et (ejtsd: 2-es alapú logaritmus 7-et). Ugyanígy a${\log _2}x$-et (kettes alapú logaritmus x-et) is ki tudod fejezni a tízes alapú logaritmus segítségével.
A kettes alapú logaritmusfüggvény tehát egyszerűen előállítható a tízes alapúból. Hogyan? Úgy, hogy a tízes alapú logaritmusfüggvényt megszorozzuk $\frac{1}{{\lg 2}}$-vel (ejtsd: 1 per tízes alapú logaritmus 2-vel), ami körülbelül 3,322-del (ejtsd: három egész háromszázhuszonkét ezreddel) való szorzást jelent.
Bármely másik logaritmusfüggvényre is hasonló megállapítás igaz. A logaritmusfüggvények bármelyikéből tehát egy alkalmas szorzással bármelyik másikat megkaphatjuk.
Ezzel be is zárult az a kör, amelyik a csodálatos logaritmustáblákkal kezdődött. Érthetővé vált, hogy miért volt mindegy az, hogy milyen alapú logaritmustáblát készítettek el a tudósok, hiszen az egyik logaritmustábla értékeiből egy alkalmas számmal való szorzással egy másik alapú logaritmustáblát is megkaphatunk.