A csodálatos logaritmus

A modern technika mindenütt jelen van, a mindennapi életed részét képezi. A zsebszámológép, a számítógépek világában nehéz elképzelni, hogyan lehetett boldogulni ezek nélkül. Hogyan tudtak bonyolultabb számításokat elvégezni 100-200 évvel ezelőtt az akkori tudósok? Sőt, még 50 évvel ezelőtt sem volt zsebszámológépe az akkori iskolásoknak, a számítógépről meg nem is hallottak.
Mi lehetett az a kulcs, ami az elektronikus számológépek nélküli világban megnyitotta a bonyolultabb számítások felé vezető kaput? A válasz rövid: a logaritmus fogalmának megszületése és a logaritmustáblák elkészítése. Ez a korabeliek csodálatát is kivívta, egyes logaritmustáblákat a „csodálatos” jelzővel is illették. Valóban csodálatos alkotások voltak ezek!
A logaritmus alapgondolata rendkívül egyszerű annak, aki a hatványozással már megbarátkozott. Nézzünk erre egy példát! A tavon ringatózó lótuszvirágok éppen $1{\rm{ }}{m^2}$ területet fednek le, és ez a terület folyamatosan növekedve hetente megduplázódik. Hányadik napon éri el a 12 négyzetmétert? A válaszhoz először egy, az egész hetekre vonatkozó táblázatot készíthetünk.
A virággal befedett terület nagyságát exponenciálisan növekedőnek gondolhatjuk, a megfelelő exponenciális függvény az $x \mapsto {2^x}$. A feladat kérdése az, hogy a grafikon melyik pontjának 12 a második koordinátája. Másképpen fogalmazva: a 2-nek hányadik hatványával egyenlő a 12? Azt látjuk, hogy valahol a 3. hét után, de még a 4. hét vége előtt volt éppen $12{\rm{ }}{m^2}$ a terület. Tegyünk egy próbát a 3,5-del! ${2^{3,5}} = {2^{\frac{7}{2}}} = \sqrt {{2^7}} = \sqrt {128} < 12$.
A becslés és a grafikon alapján a 3,6 elfogadhatónak tűnik. 3,6 hét az 25,2 nap, így azt válaszolhatjuk a kérdésre, hogy a 26. napon érték el a 12 m2-es kiterjedést a lótuszvirágok. Megállapítottuk, hogy ${2^{3,6}} \approx 12$. És akkor lássuk a csodálatos logaritmust! Azt a kitevőt, amire a 2-t hatványozva 12-t kapunk, kettes alapú logaritmus 12-nek nevezzük. A12-nek a kettes alapú logaritmusa körülbelül 3,6-del egyenlő.
Ez szép történet volt, de vajon van-e minden számnak kettes alapú logaritmusa? A grafikonunkra ránézve azt mondhatjuk, hogy az 1-nél nem kisebb számoknak biztosan van ilyen logaritmusa. Például: ${\log _2}1 = 0$, mert ${2^0} = 1$, ${\log _2}2 = 1$, mert ${2^1} = 2$, ${\log _2}8 = 3$, mert ${2^3} = 8$, és ${\log _2}5,5 \approx 2,5$, mert ${2^{2,5}} \approx 5,5$. Az $x \mapsto {2^x}$ exponenciális függvényt használva az 1-nél kisebb pozitív számok kettes alapú logaritmusát is értelmezhetjük.
Van-e logaritmusa a negatív számoknak és a 0-nak? Nincs, mert a 2-nek mindegyik hatványa egy pozitív szám.
Ez is érthető, de miért olyan csodálatos ez az egész? A csoda a logaritmustáblákhoz kötődik. Több középkori tudós hosszú évekig tartó munkával egyre részletesebb és egyre pontosabb logaritmustáblát készített. Ezek segítségével már elképesztően bonyolult számításokat is el tudtak végezni. Kepler is részben a logaritmus segítségével tudta csak a csillagászati megfigyelések matematikai feldolgozását megadni a bolygók mozgását leíró törvényeiben.
Hogy működik a csodálatos logaritmustábla? Hogyan tudták kiszámítani például a ${3^{1,4}}$ hatvány értékét? A válasz nagyon meglepő: csupán meg kell mondanunk a táblázatból, hogy mennyi a 2-es alapú logaritmus 3 értéke. Látjuk, hogy ${2^{1,5850}} = 3$. Ha alkalmazzuk a hatványozás azonosságát, akkor azt kapjuk, hogy ${3^{1,4}} = {2^{2,219}}$. Közben persze elvégezték az $1,585 \cdot 1,4$ szorzást is. Most már csak azt kell a csodálatos táblázatból megkeresni, hogy mennyi ${2^{2,219}}$. Azt találták, hogy körülbelül 4,656 az eredmény. Tehát ${3^{1,4}} \approx 4,656$.
Valljuk be, ez valóban csodálatos teljesítmény a 17. században! Hiszen a 21. század modern zsebszámológépei közel ugyanezt az értéket adják eredményül! Igaz, jóval rövidebb idő alatt. Csak a sebesség változott, a csoda nem!