Függvények III. – Az abszolútérték-függvényről

Az előző fejezetekben megismerkedtünk a függvényekkel, a tulajdonságaikkal, megismertük a lineáris függvényt és annak két speciális változatát, az egyenes arányosság és a konstans függvényt. Induljunk ki ezekből!
Mi történne, ha az x tengely helyére egy tükröt helyeznénk úgy, hogy a harmadik és a negyedik síknegyedet tükrözzük? Igen, a függvény képének x-tengely alatti része tükröződne. Minden negatív helyettesítési érték az ellentettjére változna, vagyis minden függvény-érték pozitív vagy nulla lenne. A nullán kívül így minden függvényértékből kettő lenne. Nem is olyan bonyolult ez.
Mi lehet az ilyen függvény megadási módja? Gondoljuk csak át! Ahhoz, hogy minden érték pozitív legyen, a negatív számok ellentettjét kell vennünk. Ez pedig nem más, mint a szám abszolút értéke. Tehát nem kell mást tennünk, mint a változó értékét abszolút értékbe tenni. Az abszolút értéket felfoghatjuk úgy is, mint a szám nullától való távolságát a számegyenesen. Az abszolút értékjel a pozitív számok és a 0 értékét nem változtatja meg, a negatív számoknak pedig az ellentettjét, azaz a mínusz egyszeresét adja. Ezzel eljutottunk az abszolútérték-függvény alapesetéhez: Ef x egyenlő abszolút-érték x.
Az abszolútérték-függvény általános alakja ef x egyenlő a-szor abszolút-érték x mínusz u, plusz bé. Ha „a” nagyobb, mint nulla, akkor a függvény képe felfelé nyitott vé alakú. Ha „a” negatív, akkor a függvény képe lefelé nyitott vé alakú. Az a (á) értéke 0 nem lehet, vagyis $a \ne 0$, hiszen akkor konstans függvényről beszélnénk. A bé értéke jelen esetben nulla, ezért itt a grafikonok csúcspontja éppen az origó. Igaz akkor, hogy mindig minden függvény-érték pozitív? Természetesen nem, hiszen láthattuk, hogy ez függ az „a” értékétől is.
Nézzünk néhány példát! Adott három függvény: (efix, géix, háix) $f\left( x \right) = \left| x \right|$ $g\left( x \right) = \left| x \right| + 3$ $h\left( x \right) = \left( { - 1} \right) \cdot \left| x \right|$ Készítsünk értéktáblázatot, majd ábrázoljuk egy közös koordináta-rendszerben a függvények összetartozó értékpárjait! Természetesen a függvény nemcsak az egész számok halmazán, hanem a teljes valós számok halmazán értelmezett, Az f(x) a már ismert alapfüggvény. A $g\left( x \right)$ és a $h\left( x \right)$ függvények az alapfüggvény transzformáltjai. Egy alapfüggvénynél a hozzárendelési szabályt megváltoztatjuk úgy, hogy az új függvény képét az alapfüggvény képéből valamilyen geometriai transzformációval megkapjuk. A hozzárendelésnek ezt a fajta megváltoztatását függvénytranszformációnak nevezzük. Láthatjuk, hogy a $g\left( x \right)$ függvény minden értéke az az alapfüggvény értékeihez képest 3-mal növekedett, azaz a függvény képe az y tengely mentén +3-mal eltolódott. A függvény képe felfelé nyitott V alak, hiszen a (á) értéke pozitív, jelen esetben$a = 1$. A $h\left( x \right)$ függvény esetében az eredeti $f\left( x \right)$ függvénynek az x tengelyre vetített tükörképét kaptuk, mert a (-1) konstans a függvény minden értékének az ellentettjét képezte. A függvény képe most fordított állású V alak, mert $a = \left( { - 1} \right)$, azaz a (á) értéke negatív.
Az abszolútérték-függvény képével gyakran találkozunk a természetismereti összefüggések vizsgálata során. Ilyen például a fizikában az optika területe, ahol különböző fényvisszaverődési jelenségeket vizsgálunk sima sík felületen, például tükrön, víztükrön, fémeken stb.