A vektorok bevezetése

A matematika fejlődését, a matematika eszköztárának gyarapodását gyakran más tudományhoz köthető problémák pontos leírásának a vágya indukálta. Egy ilyen matematikai fogalommal foglalkozunk ebben a tanegységben.
Példánkban egy autó A városból egyenes úton haladva B városba érkezik. A két város távolságát az A és B pontokat összekötő szakasz hosszával adhatjuk meg. Mivel az autó A pontból indult és B pontba érkezett, nevezhetjük A-t a szakasz kezdőpontjának, B-t a szakasz végpontjának. Ha egy szakasz végpontjait ilyen módon megkülönböztetjük egymástól, akkor irányított szakaszról beszélünk. Ezt a szakasz végpontjába rajzolt nyíllal szoktuk jelölni.
Vegyünk fel az előzővel megegyező irányú és hosszúságú irányított szakaszokat! Képzeljük el, hogy ezek különböző városok között közlekedő autósokat szemléltetnek! Mit tegyünk, ha az autósok indulása előtt szeretnénk gondoskodni arról, hogy mindenki a megfelelő pontba jusson anélkül, hogy pontosan tudnák az úti célt? Ehhez segítségül hívhatjuk a vektorokat. Egy vektort úgy képzelhetünk el, mint az egymással megegyező irányú és hosszúságú irányított szakaszok halmazát. A példában szereplő autósok akkor is célba érnek, ha csupán annyit közlünk velük, hogy például északkelet felé haladjanak 5 kilométert. Vagyis egy vektor nem rendelkezik konkrét kezdő és végponttal, ellenben szemléltethetjük egy neki megfelelő irányított szakasszal. Egy irányított szakasz tehát egyértelműen meghatároz egy vektort. Egy vektort pedig végtelen sok irányított szakasszal reprezentálhatunk.
A vektorok jelölése többféleképpen történhet. Használhatjuk a vektort meghatározó irányított szakasz végpontját: $\overrightarrow {AB} $, vagy aláhúzott, nyíllal ellátott, avagy vastagon szedett kisbetűvel is jelölhetjük. A vektort meghatározó irányított szakasz hosszát a vektor abszolút értékének nevezzük. Ha egy vektor abszolút értéke nulla, akkor azt nullvektornak nevezzük. Megállapodás szerint az irányát tetszőlegesnek tekintjük.
Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha az őket meghatározó irányított szakaszok egymással párhuzamosak, azonos irányba mutatnak és a hosszuk megegyezik.
Ha a két vektort meghatározó irányított szakaszok egymással párhuzamosak, az abszolút értékük megegyezik, csupán az irányuk ellentétes, akkor ellentett vektorokról beszélünk. Az a vektor ellentett vektorát mínusz a-val jelöljük.
Ha az első példánkban az autós nem áll meg, hanem továbbvezet a C pontba, akkor ezt az elmozdulást egy újabb vektor segítségével jelölhetjük. A teljes elmozdulást csupán a kezdő- és a végpont határozza meg, azaz ez éppen az $\overrightarrow {AC} $. Tehát a példában szereplő $\overrightarrow {AB} $ és $\overrightarrow {BC} $ vektorok egyetlen vektorral helyettesíthetők, ezt a két vektor összegvektorának nevezünk.
Határozzuk meg az a és b vektorok összegvektorát! Egy vektort a tetszőleges, irányított szakaszával reprezentálhatunk, így az előző példához hasonlóan az a vektor végpontjába tolhatjuk a b vektor kezdőpontját. Ekkor az összegvektor az a kezdőpontjából a b végpontjába mutató vektor. Ezt a módszert háromszögszabálynak nevezzük. Amennyiben a két vektort közös kezdőpontból indítjuk, az általuk kifeszített paralelogrammának a közös kezdőpontból induló átlóvektora adja meg az összegvektort. Ezt szokás paralelogramma-szabálynak nevezni. Láthatóan a két eredmény azonos.
Két vektor különbségét is képezhetjük. A kivonást definiálhatjuk két vektor, az a vektor és a -b összeadásával. Másképpen is eljárhatunk: ha a két vektort közös kezdőpontba toljuk, akkor a vektorok különbségvektora a kivonandó vektor végpontjából a kisebbítendő vektor végpontjába mutat. Ez a két módszer ugyanazt a végeredményt adja.
Értelmezhetjük a vektorok tetszőleges „a“ valós számmal való szorzását is. Ha az „a“ valós szám pozitív, akkor a vektor a-szorosa az a vektor, amelynek abszolút értéke az eredeti „a“-szorosa, iránya pedig változatlan. Ha „a“ negatív, akkor a vektor „a“-szorosa az a vektor, amelynek hossza az eredetinek $\left| a \right|$-szerese, iránya pedig az eredetivel ellentétes. A nullvektor számszorosa vagy a vektor nullaszorosa a nullvektor.
Gyakorlásképpen oldd meg a tanegységhez tartozó feladatokat!