Hegyesszögek szögfüggvényei II.

Ha már megismerkedtél a derékszögű háromszögekre vonatkozó tételekkel és szögfüggvényekkel, akkor felvetődhet az a kérdés, mikor melyiket lehet és érdemes alkalmazni. Nézzünk erre néhány példát!
Egy ház három méter magasan lévő ablakából a szemközti ház teteje ${28^ \circ }$-os emelkedési szögben, az alja pedig ${12^ \circ }$-os lehajlási szögben látszik. A két ház távolsága 35 m. Számítsuk ki, milyen magas a szemközti ház! Készítsünk vázlatot! A vázlatrajzból látszik, hogy a feladatot két derékszögű háromszög segítségével oldhatjuk meg. Ezeknek egy közös oldaluk van, amelyet jelöljünk s-sel! Ez mindkét háromszögnek a befogója. Mit ismerünk még? Ismerjük a háromszögek egy-egy szögét. Keressük a szögekkel szemben lévő befogókat, x-et és y-t, amelyek összege egyenlő a ház magasságával. Jelekkel: $x + y = h$ (iksz meg ipszilon egyenlő há). Ha egy derékszögű háromszögben egy oldalt és egy hegyesszöget ismerünk, akkor a másik oldalt szögfüggvény segítségével kiszámíthatjuk. Ismerünk egy befogót és egy hegyesszöget, keressük a másik befogót, ezért a tangens és a kotangens szögfüggvényeket használhatjuk. Mivel a számológépen nincs kotangens, írjuk fel a ${28^ \circ }$-os szög tangensét. Tangens ${28^ \circ }$ egyenlő x per s, azaz nulla egész ötezer-háromszáztizenhét tízezred egyenlő x osztva 35-tel. Ebből az x értéke 18,6 (tizennyolc egész hat tized) méter. A ház tehát 26 méter magas.
Egy domb oldala olyan lejtő, amely 15 fokos szöget zár be a vízszintes síkkal. A dombtetőre vivő egyenes út vízszintesre eső merőleges vetülete 200 m. Milyen hosszú az út, és milyen magas a domb? Most is készítsünk vázlatot! A szög melletti befogó az út merőleges vetülete, ezt ismerjük. A lejtő hosszát jelöljük L-lel, ez a háromszög átfogója, a lejtő magassága: m, a háromszög szöggel szembeni befogója. Számítsuk ki először a lejtő hosszát! Ehhez a koszinusz szögfüggvényt alkalmazhatjuk. Koszinusz ${15^ \circ }$ egyenlő a per L. Behelyettesítünk és elvégezzük a műveleteket a képernyőn látható módon. A lejtő hossza tehát 207 méter. A domb magasságát további szögfüggvénnyel kiszámíthatjuk, de ha két oldalt ismerünk, akkor már alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt is. 200 a négyzeten plusz „em” négyzet egyenlő 207 a négyzeten. Ebből „em” egyenlő 53 egész 4 tized méter, vagyis a domb magassága 53 egész 4 tized méter.
A gúlában több derékszögű háromszöget találunk. Ezekre is alkalmazhatjuk a Pitagorasz-tételt, vagy valamelyik szögfüggvényt. Hogyan döntsük el melyik a célszerű, ha oldalakat szeretnénk meghatározni? Ha egy derékszögű háromszögben pontosan egy oldalt és egy szöget ismerünk, akkor midig valamelyik szögfüggvényt alkalmazzuk. Ha azonban két oldalt ismerünk, akkor a Pitagorasz tételt alkalmazzuk. Például: tudjuk, hogy a négyzet alapú gúla alaplaplapja és oldallapja által bezárt szög ${68^ \circ }$, az alapéle 10 cm. Számítsuk ki a gúla testmagasságát és az oldallapja magasságát! Írjuk ki az adatokat! $\beta = {68^ \circ }$, (béta egyenlő 68 fok) $a = 10{\rm{ }}cm$. $m = ?$ ${m_a} = ?$ A magasság kiszámításához alkalmazzuk a tangens szögfüggvényt! Tangens béta egyenlő m per az alap fele, azaz tangens ${68^ \circ }$ egyenlő m osztva öttel. A műveletek elvégzése után megkapjuk, hogy a gúla magassága 12,4 (tizenkettő egész négy tized) centiméter. Az oldallapmagasság kiszámításához lehet, de nem szükséges szögfüggvényt alkalmazni. Írjuk fel a Pitagorasz-tételt! Elvégezve a műveleteket, az oldallap magassága 13 egész 4 tized centiméter.