Hasonló síkidomok és testek

A tudomány és a technika gyakran alkalmazza a hasonlóságot. Legyen szó akár kicsi, akár nagy dolgok szemléltetéséről, a gyártást megelőző tervezésről vagy egy prototípus teszteléséről, a hasonlóság szerephez jut mindegyiknél.
Ezért is ismerkedünk meg a hasonló síkidomok, testek közötti viszonyok pontos matematikai leírásával. Mint azt már tudod, két hasonló síkidom megfelelő oldalhosszainak a hányadosa állandó, ezt a hasonlóság arányának nevezzük és $\lambda $-val jelöljük.
Vegyük fel az ABC háromszöget, aminek az oldalai 2, 4 és 5 cm hosszúak, valamint a hozzá hasonló DEF háromszöget! A megfelelő oldalaik hányadosa, azaz a hasonlóságuk aránya legyen 2! Mit mondhatunk a kerületek arányáról? A kerület, azaz az oldalhosszak összege 11 cm, illetve 22 cm. Tehát a kerületek aránya is 2.
Írjuk fel a kerületek arányát tetszőleges hasonló háromszögek esetén! Legyen a hasonlóság aránya $\lambda $! A nagy háromszög minden oldala $\lambda $-szorosa a kis háromszög megfelelő oldalának. A behelyettesítést követően a $\lambda $ szorzótényezőt ki tudjuk emelni, majd az $a + b + c$ összeggel tudunk egyszerűsíteni. Azt kaptuk, hogy a hasonló háromszögek kerületeinek aránya megegyezik a hasonlóság arányával. Belátható, hogy bármely két hasonló síkidom esetén igaz az előző összefüggés.
Vizsgáljuk most a hasonló háromszögek területét! Az ábrán lévő két hasonló háromszög esetén a hasonlóság aránya 3. Írjuk fel a két háromszög területeinek arányát! A behelyettesítést követően azt kapjuk, hogy a két háromszög területének aránya 9. Ez épp a hasonlósági arány négyzete.
Írjuk fel a területek arányát tetszőleges hasonló háromszögek esetén! Legyen a hasonlóság aránya $\lambda $! A nagy háromszög oldalai és magassága is $\lambda $-szorosa a kis háromszög megfelelő adatainak. Írjuk fel a területek hányadosát! Behelyettesítés és rendezés után a számlálóban a kis háromszög területének ${\lambda ^2}$-szerese szerepel. Egyszerűsítés után azt kapjuk, hogy két hasonló háromszög területeinek aránya megegyezik a hasonlóság arányának négyzetével.
Vizsgáljuk a hasonló sokszögek területét! Legyen a hasonlóság aránya $\lambda $! Minden sokszög felbontható háromszögekre, amelyek területének összege megadja a sokszög területét. Ha az ábrán látható módon daraboljuk fel a sokszögeket, akkor az egyes háromszögek területei mind ${\lambda ^2}$-szeresei a másik sokszögben lévő megfelelő háromszögek területeinek, így az összegük is ${\lambda ^2}$-szeres. Tehát a területek aránya ${\lambda ^2}$. Bármely két hasonló síkidomról belátható, hogy kerületeik aránya a hasonlóság arányával, míg területeik aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő.
Keressük meg, milyen megállapításokat tehetünk hasonló testek felszíne esetén! Vegyünk először két hasonló téglatestet! A hasonlóság aránya a megfelelő élek hosszainak arányával egyezik meg. A téglatest felületét hat téglalap alkotja, amelyek közül 2-2 egybevágó. A hasonló téglalapok területének aránya ${\lambda ^2}$. A területeket összeadva azt kapjuk, hogy a két téglatest felszínének aránya is ${\lambda ^2}$. Belátható, hogy hasonló testek felszínének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő.
Vizsgáljuk meg a példában szereplő téglatestek térfogatának arányát is! A téglatest térfogatát alapterületének és magasságának szorzataként számíthatjuk ki. Helyettesítsük be a nagy téglatest térfogatképletébe a megfelelő éleket! Rendezés után azt kapjuk, hogy a két test térfogatának aránya ${\lambda ^3}$. Belátható, hogy bármely két hasonló test térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő.