Egybevágó és hasonló alakzatok

Manapság azoknak a termékeknek a többsége, amik a kezünk ügyébe kerülnek, az apróktól az egész nagyokig, a tömeggyártás eredményei. Gyártásuk a tervezéssel indul, ami során gyakran az eredetihez hasonló, arányosan kicsinyített makett készül. A gyártósorról pedig a kívánt méretben kerülnek le az egymással azonos, egybevágó termékek. Az egybevágó vagy a hasonló alakzatok körbevesznek bennünket a mindennapokban. Ebben a tanegységben ezeket a fogalmakat járjuk körül.
Amennyiben két alakzat között létezik olyan egybevágósági transzformáció, amivel az egyik a másikba vihető, a két alakzatot egybevágónak nevezzük. Fontos megjegyezni, hogy egybevágósági transzformációnak tekintjük az egybevágósági transzformációk egymás utáni elvégzését is! Például ha két háromszög közül az egyik egy elforgatás, majd egy eltolás során vihető a másik háromszögbe, a két háromszög egybevágó. Az A és B alakzatok egybevágóságának jele a közéjük írt egyenlőségjel hullámvonallal.
Emlékeztetőül ismételjük át a háromszögek egybevágóságának alapeseteit! Két háromszög akkor és csak akkor egybevágó, ha megfelelő oldalaik hossza páronként egyenlő, vagy ha két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által közbezárt szögek is egyenlők, vagy ha egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két szög egyenlő, vagy ha két-két oldaluk hossza és a hosszabbakkal szemközti szögek egyenlők.
Míg a háromszögek esetén az egybevágósághoz elegendő az oldalhosszak páronkénti egyenlősége, addig a sokszögeknél más a helyzet. Például sok olyan azonos oldalhosszúságú rombusz létezik, amik nem egybevágóak. Két sokszög akkor és csak akkor egybevágó, ha a megfelelő oldalaik hossza és a megfelelő átlók hossza egyenlő, vagy ha a megfelelő oldalaik hossza és a megfelelő szögek páronként egyenlők.
Ahogy az alakzatok egybevágóságát egybevágósági transzformációkkal definiáljuk, úgy az alakzatok hasonlóságát a hasonlósági transzformációk segítségével írhatjuk le. Két alakzatot hasonlónak nevezünk, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amivel az egyik a másikba vihető. A és B alakzatok hasonlóságát a közéjük írt hullámvonallal jelöljük.
Vizsgáljuk meg a háromszögek hasonlóságának alapeseteit! Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha a megfelelő oldalaik hosszának aránya páronként megegyezik, vagy ha két-két oldalhosszuk aránya és az ezek által közbezárt szög nagysága megegyezik, vagy ha két-két szögük páronként egyenlő nagyságú, vagy ha két-két oldalhosszuk aránya egyenlő és ezen oldalak közül a nagyobbikkal szemközti szögek nagysága egyenlő.
Két sokszög akkor és csak akkor hasonló, ha a megfelelő oldalhosszaik aránya páronként egyenlő, valamint a megfelelő szögeik páronként egyenlő nagyságúak. Az eddigiekből látszik, hogy a hasonlóság és az egybevágóság rokon fogalmak, mindkettőt geometriai transzformációkkal határoztuk meg.
A hasonlóság segítségével fel tudunk osztani egy adott szakaszt adott arányban. Vegyünk fel egy tetszőleges szakaszt és szerkesszük meg azt a pontját, ami a szakaszt 1:2 (ejtsd: egy a kettőhöz) arányban osztja két részre! Ehhez húzzunk a szakasz egyik végpontjából egy félegyenest és mérjünk fel rá három egyenlő hosszúságú szakaszt! Ha az utolsó pontot összekötjük a szakasz végpontjával, akkor egy háromszöget kapunk. A C pont az AE szakasz 1:2 arányú osztópontja. Ha a BE szakasszal párhuzamost húzunk a C ponton keresztül, akkor egy, az előzőhöz hasonló háromszöget kapunk, hiszen szögeik páronként megegyeznek. Ebből az következik, hogy az oldalhosszaik aránya egyenlő, vagyis a pont 1:2 arányban osztja a szakaszt két részre.