Bázisvektor

A már megismert vektortulajdonságok és -műveletek lehetőséget biztosítanak a vektorok között fennálló mélyebb összefüggések megismerésére is.
Vegyünk fel egy tetszőleges $\bar a$-t! A vektor szorzótényezőjének változtatásával tetszőleges, az eredeti vektorral párhuzamos vektor állítható elő.
Igaz az is, hogy ha adott egy a vektor -amely nem nullvektor-, akkor az összes vele párhuzamos v vektor egyértelműen megadható az a vektor számszorosaként, vagyis \(v = \alpha \cdot a\) (ejtsd: vé vektor egyenlő alfászor a vektor) alakban, ahol \(\alpha \) (alfa) valós számot jelöl.
Amennyiben az adott vektorral nem párhuzamos vektort szeretnénk meghatározni, szükségünk van egy másik vektorra is. Vegyük fel az $\bar a$ és $\bar b$ vektorokat, valamint egy tetszőleges $\bar v$ vektort.
A vektorok tulajdonságaiból adódóan ezeket felvehetjük közös kezdőpontból.
Rajzoljuk meg azt a paralelogrammát, aminek az oldalai az $\bar a$ vektorral és a $\bar b$ vektorral párhuzamosak, átlója pedig a v vektor! Láthatjuk, hogy v vektor az a-val és b-vel párhuzamos vektorok összege lesz. Ezek a vektorok pedig egyértelműen megadhatók az $\bar a$ és $\bar b$ vektorok számszorosaiként.
Ha $\bar a$ és $\bar b$ nem párhuzamos vektorok, és $\bar v$ tetszőleges, velük egy síkba eső vektor, akkor $\bar v$ egyértelműen előállítható $\bar v = \alpha \cdot \bar a + \beta \cdot \bar b$ alakban, ahol alfa és béta valós számokat jelöl. Azt is mondhatjuk, hogy a $\bar v$ vektor az $\bar a$ és $\bar b$ vektorok lineáris kombinációja. Az a és b vektorokat bázisvektoroknak, az $\alpha $ és $\beta $ valós számokat pedig a v vektor a és b bázisvektorokra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.
A tételnek van térbeli megfelelője is. A tér egy tetszőleges $\bar v$ vektorának megadásához három, páronként nem ugyanazt a síkot meghatározó bázisvektorra van szükség. Ekkor a tetszőleges vektor egyértelműen előállítható a három vektor lineáris kombinációjaként.
Használjuk a bázisvektorokat! Vegyünk fel egy négyzetet! Két szomszédos oldalán jelöljük az azonos kezdőpontból induló $\bar a$ és $\bar b$ bázisvektorokat!
Adjuk meg a négyzet A csúcsából a CB oldal felezőpontjába mutató vektort az $\bar a$ és $\bar b$ vektorok lineáris kombinációjaként! Az $\overrightarrow {AF} $ vektor végpontjából párhuzamosokat húzunk a bázisvektorokkal. Így egy téglalapot kapunk, aminek az $\overrightarrow {AF} $ egy átlója. Mivel F felezőpont, a $\overrightarrow {BF} $ a $\bar b$ egykettedszerese. Az ábra alapján a háromszögszabály értelmében $\overrightarrow {AF} = \bar a + \frac{1}{2}\bar b$ alakban írható fel.
Középiskolában leggyakrabban az i és j vektorokból álló bázisrendszer segítségével adjuk meg a vektorokat. Ezek a bázisvektorok egységnyi hosszúak, és mivel az i vektort a j vektorba $ + {90^ \circ }$-os forgatás viszi, egymásra merőlegesek. Ez a bázisrendszer jól illeszkedik a pontkoordináta-rendszerhez.