A kör egyenlete

A számítógépek világában senki sem csodálkozik azon, hogy a legkülönbözőbb képeket tudjuk a képernyőre varázsolni.
Tudjuk, hogy a kép megjelenítéséhez megfelelő hardverre – például videokártyára, monitorra – és megfelelő szoftverre, programra van szükség.
A legbonyolultabb kép megjelenítése is ugyanazon az elven alapul: a számítógépnek meg kell mondani, hogy egy adott pillanatban a képernyő melyik pontja legyen fényes és melyik maradjon sötét.
A számítógép a külvilággal a számok nyelvén kommunikál, tehát a számok segítségét kell igénybe vennünk ahhoz, hogy a gép számára érthetővé tegyük, mely pontokat szeretnénk láthatóvá tenni.
Kezdjük a legegyszerűbb esettel! A képernyőre képzeljünk el egy koordináta-rendszert! Ennek segítségével a képernyő bármelyik pontját megjelölhetjük az ismert módon, rendezett számpárok segítségével.
Egyesével könnyen tudunk pontokat megadni, de ha például egy vonalat kell megrajzoltatnunk a képernyőn, akkor ezzel a módszerrel szinte lehetetlen a feladatot teljesíteni.
Szerencsére van olyan matematikai segédeszközünk, amellyel egyszerre nagyon sok (akár végtelen sok) pontot is meg tudunk adni. Figyeljük meg, hogy mi történik, ha az ${y^2} - x = 0$ (ejtsd: ipszilon-négyzet mínusz iksz egyenlő nulla) egyenletet írjuk be egy rajzolószoftverbe!
A program „megérti” a beírt egyenletet, és egy görbét jelenít meg.
Honnan tudja a program, hogy mely pontokat kell pirosra színeznie a képernyőn és melyeket kell színezetlenül hagynia? A válasz nagyon egyszerű. A program azoknak a pontoknak a megszínezésére ad parancsot, amelyek két koordinátáját a megadott egyenletbe behelyettesítve igaz kijelentést kapunk.
Például a (4; 2) (ejtsd: négy-kettő) számpár esetén az y helyébe kettőt, az x helyébe pedig négyet kell írnunk. Igaz kijelentést kaptunk, tehát az A(4; 2) (ejtsd: A- négy-kettő) pontot pirosra kell színezni.
A B(2; –1,6) (ejtsd: Bé-kettő-mínusz egy egész hat tized) pontot azonban nem kell pirosra színezni, mert hamis kijelentést kapunk.
Rajzoltassunk a számítógéppel egy olyan kört, amelynek a középpontja az origó és a sugara 5 egység! Gondoljuk végig, hogy melyik egyenletet írhattuk be, amelyre a számítógép ezt a kört adta válaszul!
A kör definíciója miatt azok a pontok tartoznak a körhöz, amelyeknek az origótól való távolsága 5 egység.
Döntsük el, hogy a W(–3,1; 3,9) (ejtsd: W-mínusz három egész egy tized-három egész kilenc tized) pont rajta van-e ezen a körön!
A W pont távolsága az origótól a távolságképlettel számítható. Eredményül $\sqrt {24,82} $-t (ejtsd: négyzetgyök alatt huszonnégy egész nyolcvankét századot) kapunk, ami kisebb ötnél.
A W pont tehát nincs rajta a körön.
A $P\left( {x;y} \right)$ (ejtsd: Pé-iksz-ipszilon) pont tehát akkor és csak akkor lesz rajta az origó középpontú, 5 egység sugarú körön, ha a $\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 5$ (ejtsd: négyzetgyök alatt-x-négyzet plusz y-négyzet egyenlő öt) összefüggés igaz.
A négyzetgyökös egyenlet helyett a vele egyenértékű, de egyszerűbb alakú ${x^2} + {y^2} = 25$ (ejtsd: x-négyzet plusz y-négyzet egyenlő huszonöt) egyenlet is írható.
Figyeld meg, hogyan változik az origó középpontú körhöz tartozó egyenlet, ha a kör sugarát változtatjuk!
Ha a kör középpontja nem az origó, hanem például a C(2; 3) (ejtsd: Cé-kettő-három) pont, akkor azok és csak azok a $P\left( {x;y} \right)$ (ejtsd: Pé-iksz-ipszilon) pontok vannak rajta az öt egység sugarú körön, amelyek öt egység távolságra vannak a C ponttól. A két pont távolságképletét alkalmazva egy négyzetgyökös egyenletet kapunk. Ennél egyszerűbb alakú a négyzetre emeléssel kapott egyenlet, amely egyenértékű az előbbivel. A három egyenlet bármelyikét nevezhetjük a megadott kör egyenletének.
Foglaljuk össze! A kétismeretlenes egyenlet a koordináta-rendszerben – vagy a képernyőn – ponthalmazt határoz meg. Azok a pontok tartoznak a ponthalmazhoz – a képernyőn azok a pontok jelennek meg –, amelyeknek a koordinátáit az egyenletbe behelyettesítve igaz kijelentést kapunk.
Megismertük a kör egyenletét. Origó középpontú, r sugarú kör jelenik meg a képernyőn, ha a rajzolóprogramba az ${x^2} + {y^2} = {r^2}$ (ejtsd: x négyzet plusz y négyzet egyenlő r négyzet) egyenletet visszük be, és az r helyébe egy pozitív számot írunk.
A C(u; v) (ejtsd: Cé- u-vé) középpontú, r sugarú kör jelenik meg a képernyőn, ha az ${\left( {x - u} \right)^2} + {\left( {y - v} \right)^2} = {r^2}$ (ejtsd: x mínusz u a négyzeten plusz y mínusz v a négyzeten egyenlő r-négyzet) egyenletet visszük be, és az r helyébe egy pozitív számot, u és v helyébe pedig egy-egy tetszőleges számot írunk.