Skaláris szorzás vektorkoordinátákkal

Érdekes kérdés, hogy hogyan számíthatod ki két vektor skaláris szorzatát, ha a vektorok nem a szokásos módon, hanem a koordinátáikkal vannak megadva. Tanultad azt a definíciót, amely szerint két vektor skaláris szorzata három olyan valós szám szorzatával egyenlő, amelynek két tényezője a két vektor hossza, a harmadik tényezője pedig a két vektor szögének koszinusza.
A skaláris szorzat tényezői felcserélhetők, a skaláris szorzat pontosan akkor nulla, ha a két vektor merőleges egymásra, a valós számmal való szorzás áthelyezhető, két vektor összegét egy harmadik vektorral tagonként is szorozhatjuk.
A tulajdonságok ismeretében a koordináta-rendszerben megadott vektorok skaláris szorzatát is ki tudjuk számítani.
Az i és a j vektor hossza egy egység, és a két vektor egymásra merőleges. Emiatt az i-szer i skaláris szorzás eredménye egy, a j-szer j skaláris szorzás eredménye szintén egy, míg az i-szer j, illetve j-szer i skaláris szorzás eredménye – a két vektor merőlegessége miatt – nulla.
Adjuk meg az a(7; 2) (ejtsd: hét, kettő) és a b(3; 4) (ejtsd: három, négy) vektor skaláris szorzatát! A definícióban a vektorok hossza és a szögük szerepel, mi pedig csak négy számot ismerünk, a vektorok két-két koordinátáját.
Írjuk fel, hogy mit jelentenek a vektorkoordináták! Az a vektor a hét i és a két j vektor összege,
a b vektor pedig a három i és a négy j vektor összege.
Az ab (ejtsd: a-szor b) skaláris szorzat tehát a \(7{\bf{i}} + 2{\bf{j}}\) (ejtsd: hét i és a két j összegének), valamint a \(3{\bf{i}} + 4{\bf{j}}\) (ejtsd: három i és a négy j összegének) skaláris szorzata.
A skaláris szorzás tanult tulajdonságait alkalmazva a zárójeleket fokozatosan elhagyhatjuk. Először a 7i (ejtsd: hét i) vektort szorozzuk a \(3{\bf{i}} + 4{\bf{j}}\) (ejtsd: három i plusz négy j) vektorral, és ehhez hozzáadjuk a 2j (ejtsd: két j) vektor és a \(3{\bf{i}} + 4{\bf{j}}\) (ejtsd: három i plusz négy j) vektor szorzatát.
Újra ugyanazt a tulajdonságot alkalmazva azt kapjuk, hogy a skaláris szorzat négy valós szám összegeként írható fel. Az összeg tagjai a hétszer háromszor i-szer i, a hétszer négyszer i-szer j, a kétszer háromszor j-szer i és a kétszer négyszer j-szer j.
Használjuk fel, hogy ii = 1 (ejtsd: az i-szer i skaláris szorzat értéke egy), ij = 0 (ejtsd: az i-szer j skaláris szorzat értéke nulla), ji = 0 (ejtsd: a j-szer i skaláris szorzat értéke nulla) és a jj = 1 (ejtsd: j-szer j skaláris szorzat értéke 1).
A jobb oldalon álló négy tagból kettő értéke nulla, tehát a skaláris szorzat két tag összegeként áll elő. Az első tag az a vektor első koordinátájának és a b vektor első koordinátájának szorzata, a második tag pedig az a vektor második koordinátájának és a b vektor második koordinátájának szorzata.
Az a és a b vektor skaláris szorzata tehát 29 (ejtsd: 29-cel egyenlő).
Az előbbi gondolatmenet mindig használható, ha a vektorokat a koordinátáikkal adjuk meg. Két vektor skaláris szorzata úgy is kiszámítható, hogy a két vektor első koordinátáinak szorzatához hozzáadjuk a második koordinátáik szorzatát. Ezzel válaszoltunk is a bevezetőben feltett kérdésre. A frissen szerzett ismeretek birtokában további újdonságokat fedezhetünk fel.
Hogyan számíthatjuk ki egy adott vektor hosszát a koordinátáiból? A definíció szerint igaz, hogy ha az a vektort önmagával skalárisan szorozzuk, akkor a vektor hosszának a négyzetét kapjuk.
Ezt a skaláris szorzatot kiszámíthatjuk a vektorkoordinátákból is.
Tehát a vektor hossza a koordinátáinak négyzetösszegéből vont négyzetgyök értékével egyenlő.
Két vektor skaláris szorzatának kiszámítására két módszerünk is van. Az egyik a definíció szerinti kiszámítás, a másik pedig a vektorok koordinátáival történő kiszámítás.
Bármelyik módszert használjuk, eredményül ugyanazt a számot kapjuk.
Ennek az összefüggésnek az ismeretében számítsuk ki az a és a b vektor hosszát, valamint a két vektor szögét is, amit $\alpha $-val (ejtsd: alfával) jelöltünk.
Az a vektor hossza a képlet szerint $\sqrt {53} $ (ejtsd: négyzetgyök ötvenhárom) egység,
a b vektor hossza $\sqrt {25} $ (ejtsd: négyzetgyök huszonöt), vagyis pontosan öt egység.
A két vektor szögének kiszámításához először foglaljuk össze, hogy a kiszámításhoz használni kívánt egyenlőség mely részleteit ismerjük!
Az ismert számokat helyettesítsük be!
A $\cos \alpha $ (ejtsd: koszinusz alfa) értéke osztással kapható meg.
Az $\alpha $ (ejtsd: alfa) konvex szög, értéke közelítőleg ${37,2^ \circ }$ (ejtsd: harminchét egész két tized fok).
Befejezésül számítsuk ki az a és b helyvektorok végpontjainak távolságát! A feladat az ábra szerint nem más, mint a b – a (ejtsd: b mínusz a) vektor hosszának kiszámítása.
Ennek a koordinátái (–4; 2) (ejtsd: mínusz négy és kettő), tehát
az AB távolság $\sqrt {20} $. (ejtsd: négyzetgyök húsz).
Az előbbi gondolatmenetet követve két pont távolságát képlettel is kiszámíthatjuk. A megadott pontok első koordinátájának különbségét négyzetre emeljük, ehhez hozzáadjuk a második koordináták különbségének négyzetét, majd az így kapott összegnek vesszük a négyzetgyökét.