A helyvektorok használata

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan használhatjuk a helyvektorokat különböző problémák megoldásában. Egy koordináta-rendszerben A(–3;7) (az A pont koordinátái mínusz három és hét), B(9;–0,5) (a B pont koordinátái pedig 9 és –0,5). Számítsuk ki az AB szakasz két harmadoló pontjának a koordinátáit!
Helyvektorok segítségével dolgozunk. Tudjuk, hogy az A pontba mutató a helyvektor két koordinátája megegyezik az A pont két koordinátájával, ahogyan a B pontba mutató b helyvektor esetében is ugyanez igaz. Az a és a b vektorok segítségével megadhatjuk a ${H_A}$ (há a), illetve a ${H_B}$ (há bé) harmadoló pontba mutató helyvektorokat, és ezzel megadjuk a harmadoló pontok koordinátáit is.
Foglalkozzunk először a ${H_A}$ (há a) pontba mutató helyvektorral! Ez a vektor az a vektor és az A pontból a ${H_A}$ (há a) pontba mutató vektor összege.
Tudjuk, hogy az A pontból a ${H_A}$ (há-a) pontba mutató vektor az A-ból a B-be mutató vektor harmada.
Az A pontból a B-be mutató vektor a \({\bf{b}} - {\bf{a}}\) (b mínusz a) vektor, ezért a koordinátái egyszerűen kiszámíthatók.
Az A pontból a ${H_A}$ (há a) pontba mutató vektor koordinátái 4 és –2,5, a ${H_A}$ helyvektor koordinátái pedig 1 és 4,5. Ezek egyben a ${H_A}$ (há a) pont koordinátái is.
A B ponthoz közelebbi ${H_B}$ (há bé) harmadoló pontot hasonlóan határozhatjuk meg.
Az a legegyszerűbb, ha a már ismert (4; –2,5) (négy, mínusz kettő egész öt tized) vektort hozzáadjuk a ${{\rm{h}}_A}$ (há a) helyvektorhoz. Az összeadás a ${{\rm{h}}_B}$ (há bé) helyvektort adja eredményül.
Tehát a ${{\rm{h}}_B}$ (há bé) helyvektor koordinátái 5 és 2.
Ugyanezek a ${{\rm{h}}_B}$ (há bé) pont koordinátái is.
Az előbbi eljárást általánosan is elvégezve könnyen megjegyezhető összefüggésekhez jutunk. Ha az A pont koordinátái ${a_1}$ (a egy) és ${a_2}$ (a kettő), a B pont koordinátái ${b_1}$ (b egy) és ${b_2}$ (b kettő), akkor az AB szakasz A-hoz közelebbi harmadoló pontjának az első koordinátája $\frac{{2{a_1} + {b_1}}}{3}$ (kétszer a egy plusz bé egy osztva hárommal), a második koordinátája pedig $\frac{{2{a_2} + {b_2}}}{3}$ (kétszer a kettő plusz bé kettő osztva hárommal). A B ponthoz közelebbi harmadoló pont koordinátáit hasonló módon számolhatjuk ki.
Ha ezeket az összefüggéseket ismerjük, akkor nem kell újra és újra a vektorokkal meghatározni a harmadoló pontokat, elegendő, ha a képletekbe behelyettesítünk. Például, ha a kidolgozott feladat adataival dolgozunk, akkor a behelyettesítésnél az ${a_1}$ (a egy) helyébe mínusz hármat, ${a_2}$ (az a kettő) helyébe pedig hetet kell írnunk.
A ${b_1}$ (bé egy) helyébe kilencet, a ${b_2}$ (bé kettő) helyébe mínusz nulla egész öt tizedet kell helyettesítenünk.
A behelyettesítések és a számolások elvégzése után ugyanahhoz az eredményhez jutunk, mint a kidolgozott feladatban a helyvektorok segítségével.
A háromszög súlypontja szorosan kötődik a szakasz harmadoló pontjához.
Tanultuk, hogy a háromszög súlypontja a háromszög mindegyik súlyvonalának az oldalfelező ponthoz közelebbi harmadoló pontja.
Ha egy koordináta-rendszerben a háromszög A csúcsának a koordinátái (-3;3) (mínusz három és három), B csúcsának a koordinátái (4;0) (négy és nulla), C csúcsának a koordinátái pedig (5;9) (öt és kilenc), akkor ezek segítségével először meghatározhatjuk az A csúccsal szemközti oldal felezőpontjának a koordinátáit,
majd kiszámítjuk az $A{F_A}$ (A ef a) szakasznak az oldalfelező ponthoz közelebbi S harmadoló pontjának a koordinátáit. Ez a súlypont, amelynek az első koordinátája 2, a második koordinátája pedig 4.
Ám még az előbbi példában megmutatott eljárást sem kell elvégeznünk, mert megmutatható, hogy a súlypont koordinátáit úgy is megkaphatjuk, hogy kiszámítjuk a háromszögcsúcsok koordinátáinak a számtani közepét.
Általánosan is bizonyítható, hogy ha adottak egy háromszög csúcsai, akkor a háromszög súlypontjának a koordinátái a csúcsok koordinátáinak a számtani közepeként is kiszámíthatók. A példák meggyőzhettek arról, hogy a vektorok és a helyvektorok ügyes használata könnyebbé teheti még a bonyolultabb számítási feladatokat is.