Helyvektor, szakasz felezőpontja

Napjainkban a légi forgalom elképesztő mértékben megnövekedett. Polgári és katonai célokat szolgáló repülő objektumok tartózkodnak egyidejűleg ugyanabban a légtérben. Ezek irányítását legtöbb esetben földi irányító központból végzik. A földi irányítás számára az a legfontosabb, hogy egy adott időpontban pontosan ismert legyen a repülő objektumok helye és sebessége. Ezeknek az adatoknak a birtokában a számítógépek villámgyorsan meghatározzák, hogy mi fog történni a következő másodpercekben. Hogyan képesek erre a számítógépek? A számítógépek mindent számokkal fejeznek ki, ezért a kérdést számok segítségével kell megfogalmaznunk a gép számára, és a választ is számokkal adja meg a gép. A számításokhoz ismert vonatkoztatási rendszerre, koordináta-rendszerre van szükség.
Kövessük nyomon egy állandó magasságban repülő utasszállító gép mozgását egy koordináta-rendszerben! A repülőgép kezdetben az A(3; 2) (ejtsd: három, kettő) pontban van,
a következő megfigyeléskor pedig a B pontban. A repülőgép elmozdulását a két megfigyelés között a v(–6; 3) (ejtsd: mínusz hat, három) vektor adja meg.
Ezután a gép a C pontba repült, az elmozdulásvektora ekkor az s(–4; –4) (ejtsd:  mínusz négy, mínusz négy) vektorral írható le. Adjuk meg a B és a C pont koordinátáit!
A koordináta-rendszerben a pontokat a koordinátáikkal adjuk meg, tehát válaszként két rendezett számpárt várunk.
A pontosan megrajzolt, jó ábra ismeretében is válaszolhatunk, de a repülő mozgását követő számítógép számára olyan módszert kell megadnunk, amely számok segítségével írja le a hely meghatározásának menetét, és számok segítségével adja meg a választ arra a kérdésre, hogy hol találjuk a repülőt az adott időpontban.
Rajzoljunk az origóból induló vektorokat az A, B és C ponthoz, és jelöljük őket rendre az a, b, c betűvel! Az A pontba mutató vektor éppen az a(3; 2) (ejtsd: három, kettő) vektor, hiszen a 3i és a 2j vektor összegeként adható meg.
Az origóból a B pontba mutató vektort úgy kapjuk meg, hogy az a vektorhoz hozzáadjuk a v vektort.
A b vektor koordinátái tehát a mínusz három és az öt.
Ez azt jelenti, hogy az origóból a B pontba mutató b vektor a mínusz háromszor i vektor és az ötször j vektor összegével egyenlő. A B pont koordinátái tehát a mínusz három és az öt.
Az origóból a C pontba mutató c vektor a b plusz s vektorral egyenlő.
Az összeadást elvégezve azt kapjuk, hogy a c vektor koordinátái a mínusz hét és az egy.
Mivel a c vektor az origóból indul, a végpontjának koordinátái is ugyanezek a számok. Vagyis a C pont koordinátái a mínusz hét és az egy.
A tapasztalatok szerint tehát a hely megadásához használhatunk olyan vektorokat is, amelyeknek a kezdőpontja az origó, mert ebben az esetben a vektor koordinátái megegyeznek a vektor végpontjának koordinátáival.
Az origó kezdőpontú vektorokat e különleges tulajdonságuk miatt helyvektoroknak nevezzük. A helyvektor koordinátái megegyeznek a vektor végpontjának koordinátáival. Ha tehát egy koordináta-rendszerben megadunk egy rendezett számpárt, akkor ezzel megadtunk egy pontot, és megadtuk a pontba mutató helyvektor két koordinátáját is.
Jegyezd meg, hogy ha a vektor kezdőpontja nem az origó, akkor a vektor koordinátái nem egyeznek meg a vektor végpontjának koordinátáival! Erre a későbbiekben is figyelned kell!
Oldjuk meg a következő feladatot! Adott az A(–7; 3) (ejtsd: mínusz hét, három) és a B(4; 7) (ejtsd: négy, hét) pont. Számítsuk ki az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit!
Az origóból mindhárom pontba egy-egy helyvektort rajzolunk. Ezeknek a koordinátái megegyeznek a végpontjuk koordinátáival. Ha megadjuk az f helyvektor koordinátáit, akkor egyúttal az AB szakasz F felezőpontjának koordinátáit is megismerjük.
Az A pontból a B pontba mutató vektor a b mínusz a vektorral egyenlő,
tehát az AB vektor koordinátái a tizenegy és a kettő.
Az AF vektor az AB vektor fele, ezért a koordinátái öt és fél, illetve egy.
Az f helyvektort úgy kapjuk meg, hogy az a helyvektorhoz hozzáadjuk az  (5,5; 1) (ejtsd: öt és fél, egy) vektort.
Mivel az f helyvektor, a végpontjának koordinátái ugyanezek.
Figyeld meg, hogy a felezőpont koordinátái a szakaszvégpontok koordinátáinak számtani közepével egyenlők!
Ez a megállapítás minden esetben igaz.
Így már tudod, hogy a számítógép hogyan adja meg számok segítségével a választ arra a kérdésre, hol találjuk a repülőt az adott időpontban.