Műveletek vektorkoordinátákkal

Tanultuk, hogy a sík két nem párhuzamos vektora segítségével a sík bármely más vektora is megadható. A két nem párhuzamos vektort együtt bázisnak vagy bázisrendszernek, a két vektort pedig bázisvektoroknak nevezzük. Ezzel a felfedezéssel kezdődik az az út, amelynek végére érve a vektorok helyett számpárokat is használhatunk.
Ha a bázisvektorok, az i és a j egymásra merőleges egységvektorok, akkor az ábra vektorai a következő módon adhatók meg ezek segítségével. Az a vektor egyenlő a háromszor i vektorral, a b vektor egyenlő a mínusz kétszer j vektorral. A c vektor az a és a b vektor összege, tehát a háromszor i és a mínusz kétszer j vektor összegével egyenlő. A d vektort is felírhatjuk az i és a j bázisvektorral: d egyenlő mínusz kétszer i plusz háromszor j.
Ha az i vektort első bázisvektornak, a j vektort pedig második bázisvektornak nevezzük, akkor az előbbi egyenlőségek helyett elegendő csak a két bázisvektor előtt álló szorzószámokat kiírnunk, ezzel is egyértelműen megadhatjuk a vektorokat.
Fontos, hogy a számpárban az első helyen áll az i vektor szorzója és a másodon a j vektoré. Ha a két számot felcseréljük, akkor általában egy másik vektorhoz jutunk. Ha például a c vektort megadó számpár tagjait felcseréljük, akkor a tőle különböző d vektorhoz jutunk.
Az i bázisvektor első koordinátája az egy, második koordinátája a nulla. A j bázisvektor első koordinátája a nulla, második koordinátája az egy.
Egy példán megmutatjuk, hogy a vektorkoordináták használata meggyorsíthatja a vektorműveletek elvégzését. Legyen az u vektor első koordinátája négy, második koordinátája három, a w vektor első koordinátája mínusz egy, második koordinátája pedig kettő.
Adjuk meg az u vektor kétszeresének koordinátáit, az u + w (ejtsd: u plusz w) vektor koordinátáit és az u – w (ejtsd: u mínusz w) vektor koordinátáit!
Az u vektor a négyszer i vektor és a háromszor j vektor összege, ezért a kétszer u vektor a nyolcszor i és a hatszor j vektorok összegével egyenlő. Tehát a 2u (ejtsd: kétszer u) vektor első koordinátája nyolc, a második koordinátája pedig hat. Ezek éppen az u vektor koordinátáinak a kétszeresei.
A korábban megadott u és w vektor összeadását elvégezve láthatjuk, hogy az u + w (ejtsd: u plusz w) vektor koordinátái a két vektor megfelelő koordinátáinak összegével egyenlők.
Az u és a w vektor kivonását elvégezve láthatjuk, hogy az u – v (ejtsd: u mínusz w) vektor koordinátái a két vektor megfelelő koordinátáinak különbségével egyenlők.
Foglaljuk össze a tapasztalatainkat!
Az i, j bázisrendszerben minden vektort egyértelműen adhatunk meg egy-egy rendezett számpárral. Megfordítva is igaz: minden rendezett számpárnak egyetlen vektor felel meg. A számpár első tagja a vektor első koordinátája, második tagja pedig a vektor második koordinátája.
Ha az u vektort megszorozzuk a k valós számmal, akkor a ku (ejtsd: k-szor u) vektor koordinátái az u koordinátáinak k-szorosai lesznek.
Ha az u és a w vektort összeadjuk, akkor az u + w (ejtsd: u plusz w) vektor koordinátái az u és a w koordinátáinak összegével lesznek egyenlők.
Ha az u vektorból kivonjuk a w vektort, akkor az u – w (ejtsd: u mínusz w) vektor koordinátái az u és a w koordinátáinak különbségével lesznek egyenlők. Láthatjuk, hogy adott bázisrendszerben akár el is hagyhatjuk a vektorok nyilainak megrajzolását, elegendő, ha a vektorok koordinátáival számolunk.