Trigonometrikus egyenletek

Előzetes tudás

Ehhez a tanegységhez szükséged van a következő ismeretekre: háromszög szerkesztése oldalakból és szögekből szinusztétel koszinusztétel összefüggések egy szög és a kiegészítő szögének szögfüggvényei között háromszög területének kiszámítása két oldalból és az általuk közbezárt szögből

Kerület és terület kiszámítása a szinusztétel és a koszinusztétel segítségével

Tanulási célok

Ebből a tanegységből megtanulod, hogy a geometriai problémák szerkesztéses és számításos megoldásai teljes mértékben összhangban állnak egymással. A tanegység rámutat arra is, hogy ha egy probléma megoldása során egy szögnek csak a szinusza válik ismertté, akkor több megoldás is lehetséges.

Narráció szövege

Ebben a tanegységben azt mutatjuk meg, hogy sokszor a matematika helyettünk is gondolkodik.
Az első példában megmutatjuk, hogy egy szerkesztési feladat megoldhatatlansága hogyan jelenik meg a számításokban.
A feladat nagyon egyszerű, olyan háromszöget kell szerkesztenünk, amelynek egyik oldala 6,4 cm, a másik oldala 3,1 cm, és ezzel az oldallal szemközt ${30^ \circ }$-os szög van a háromszögben. Gyors vázlatot is készítünk hozzá, hogy könnyebben átlátható legyen a gondolatmenetünk.
Ha szerkeszthető ilyen háromszög, akkor kiszámolható a 6,4 cm hosszú oldalával szemközti szöge. Erre való a szinusztétel. Ámde $\sin \alpha $-ra (ejtsd: szinusz alfára) 1-nél nagyobb számot kaptunk. Márpedig bármely szög szinusza legfeljebb 1 lehet. Nincs tehát olyan szög, amely a feladatunknak megoldása lenne, vagyis nem szerkeszthető a feltételeknek megfelelő háromszög.
A kételkedők kedvéért a szerkesztést egy profi szerkesztőprogrammal is megmutatjuk, hogy látható legyen az, amit a számításainkból már tudunk. A vázlatunkat követve először a 6,4 cm-es szakaszt vegyük fel, majd az egyik végpontjánál mérjük fel a ${30^ \circ }$-os szöget! A másik végpont körül szerkesszünk 3,1 cm sugarú kört! Ahol a kör elmetszi a ${30^ \circ }$-os szög szárát, ott kell lennie a háromszög harmadik csúcsának. Ez mind igaz, de sajnos nem jön létre egyetlen metszéspont sem. Nincs tehát olyan háromszög, amely megfelelne az adatoknak.
A szerkesztés megerősíti azt, amit a számításokkal kaptunk, sőt egy újabb, második kérdést vet fel. Hogyan tudja a számítás előre jelezni azt, hogy a szerkesztés során több megoldást is találunk majd? Módosítsuk a szerkesztési feladatunkat úgy, hogy a szerkesztendő háromszög egyik oldala továbbra is 6,4 cm, a másik oldala azonban 3,5 cm, és ezzel az oldallal szemben legyen a ${30^ \circ }$-os szög. Először nézzük meg, hogy mit ad a szerkesztés! Most két megoldást is kapunk. Az egyik háromszögben hegyesszög, a másikban tompaszög van a 6,4 cm-es oldallal szemben.
Most nézzük meg, hogyan mutatja a számolás ugyanezt! Ha létezik a szerkesztendő háromszög, akkor abban teljesül a szinusztétel. Azt kapjuk, hogy sin α közelítőleg 0,9143. A számológép azt írja ki, hogy $\alpha \approx {66,1^ \circ }$. (ejtsd: alfa közelítőleg 66,1 fokkal egyenlő)
Tanultad azonban, hogy a $\alpha \approx {66,1^ \circ }$ kiegészítő szögének ugyanannyi a szinusza, mint a $\alpha \approx {66,1^ \circ }$-nak, ezért az is lehetséges, hogy $\alpha \approx {180^ \circ } - {66,1^ \circ } = {113,9^ \circ }$. (ejtsd: alfa közelítőleg 180 fok mínusz 66,1 fok, ami 113,9 fokkal egyenlő) Két háromszög is megoldása tehát a feladatnak! Az egyikben $\alpha \approx {66,1^ \circ }$, a másikban pedig $\alpha \approx {113,9^ \circ }$. (ejtsd: alfa közelítőleg 113,9 fokkal egyenlő) A számítások tehát tökéletesen visszaadták mindazt, amit a szerkesztésnél tapasztaltunk.
A harmadik probléma a területszámításhoz kapcsolódik. Egy háromszög alakú, $7500{\rm{ }}{m^2}$-es telket kerítéssel kell körbevenned. Azt tudod, hogy a háromszög két oldala 120 m és 150 m, de a harmadik oldalról nincs semmilyen információd. Elég lesz-e 500 m kerítés?
Most nem segít a körző és a vonalzó, mindenképpen számolnod kell! Ha meg tudod mondani, hogy a telek 120 és 150 m-es oldala mekkora szöget zár be, akkor a harmadik oldalt koszinusztétellel már ki tudod számítani.
A háromszög területképletei közül kiválaszthatod azt, amelyik éppen illik a feladathoz. Az adatok birtokában a $\gamma $ (ejtsd: gamma) szög szinuszát ki tudod számítani.
Két olyan szög is lehet a $\gamma $, amelynek ennyi a szinusza. Ez a két szög egymásnak kiegészítő szöge. A telek 120 méteres és 150 méteres oldala tehát vagy ${56,4^ \circ }$-os, vagy ${123,6^ \circ }$-os szöget alkot egymással.
Az 1. esetben a háromszög c oldalának hosszára a koszinusztétellel 130 métert kapsz eredményül,
míg a 2. esetben 238 métert.
A feladatnak tehát két megoldása van, vagy 400 m, vagy 508 m kerítésre van szükséged a telek bekerítéséhez. Az 500 m kerítés tehát az első esetben elég, a második esetben azonban nem.
A bemutatott példák megerősíthetik azt a meggyőződésedet, hogy bátran rábízhatod magad a matematikára. Ha a tanultakat helyesen alkalmazod, akkor a matematika olyan esetekre is figyelmeztet, amelyekre magadtól talán nem is gondolnál.