Kerület és terület kiszámítása a szinusztétel és a koszinusztétel segítségével

Négyszög alakú telket akartok vásárolni, de a telek sajnos nem téglalap alakú. A telek elég drága, négyzetmétere 12 000 Ft. Az eladó szerint a telek területe $500{\rm{ }}{m^2}$. Te ügyes vagy, és már sokat tanultál matematikából, ezért néhány mérést végzel. Nálad van a számológéped is, így az adatokból gyorsan ki tudod számítani, hogy helytálló-e az eladó tájékoztatása.
Pontosan megméred a telek oldalainak hosszát: $AB = 21{\rm{ }}m$, $BC = 24{\rm{ }}m$, $CD = 20{\rm{ }}m$ és $DA = 25{\rm{ }}m$. Megméred még a telek egyik átlójának hosszát is: $AC = 33{\rm{ }}m$. Ez már elég is a terület meghatározásához.
Lássuk, hogyan fogsz neki a számításoknak!
A telek átlója két háromszögre osztja a telket, ezek területét érdemes kiszámítanod. Emlékezz vissza a területképletekre!
A háromszögek területére többféle kiszámítási módszer ismert. Számodra a $T = \frac{{a \cdot b \cdot \sin \gamma }}{2}$ (ejtsd: té egyenlő a-szor b-szer szinusz gamma per kettő) képlet a célravezető.
Ha az ABC háromszög, illetve az ACD háromszög bármelyik szögét ismered, máris kiszámíthatod a területét. Válaszd például a B csúcsnál és a D csúcsnál fekvő szöget!
Az ABC háromszögben az AC oldalra felírható a koszinusztétel.
Ebből a $\cos \beta $ kifejezhető és kiszámítható.
A számológép szerint $\beta \approx {94,1^ \circ }$ (ejtsd: béta körülbelül 94,1 fok).
Máris kiszámolhatod az ABC háromszög területét a megadott képlettel.
Az ADC háromszögre megismételheted az előbbi eljárást.
Az ADC háromszög területe körülbelül 249,5 négyzetméter.
A négyszög alakú telek területe a számításaid szerint körülbelül 501 négyzetméter. Az eladó információja ezek szerint helyes volt, a telekért 6 millió forintot kell fizetni.
A valóságban gyakran előfordul, hogy bajba jutott, eltűnt embereket kell megmenteni. Ekkor nagyon lényeges, hogy mekkora területet kell átkutatnia a segítő alakulatoknak. A Balatonon egy gumimatracos fürdőző nem figyelt a vészjelzésre, és a viharban elsodródott. A vízi mentőknek sikerült a keresési területet egy négyszögre korlátozniuk. Mekkora területet kell átkutatniuk?
Mielőtt a számításokat elkezdenénk, célszerű tervet készíteni ezek sorrendjéről. Az ADC háromszögnek ismerjük két oldalát és az ezek által közbezárt szöget, ezért a területét azonnal kiszámíthatjuk. Második lépésként célszerű az AC átló hosszát koszinusztétellel kiszámítani, majd harmadik lépésben az ADC háromszög A csúcsánál fekvő szögét. Negyedik lépésben az ABC háromszög A csúcsánál fekvő szögét, ötödik lépésben az ABC háromszög területét számítjuk ki. Ezután már csak össze kell adnunk a két háromszög területét.
Az első lépésben azt kapjuk, hogy az ADC háromszög területe $31,9{\rm{ }}{km^2}$ (ejtsd négyzetkilométer).
Az AC átló hosszára a koszinusztétel 10,5 km-t ad eredményül.
Az ADC háromszög A csúcsánál fekvő hegyesszöget szinusztétellel számítjuk ki. ${53,1^ \circ }$-ot kapunk eredményül.
Az ABC háromszög A csúcsánál fekvő szögét egyszerű kivonással kapjuk meg. Ez a szög ${59,7^ \circ }$-os.
Az ABC háromszögben most már ismerünk két oldalt és az ezek által közbezárt szöget, így a területét is kiszámíthatjuk.
Az ADC és az ABC háromszög területének összege $50{\rm{ }}{km^2}$. Ekkora területet kell átfésülniük a vízi mentőknek. Ez bizony nem kis feladat!
Láthatod, hogy akár egy telek, akár egy képzeletbeli sokszög területéről legyen szó, a megfelelő módszer kiválasztásával sikeresen oldhatod meg a feladatot. Célszerű a sokszöget ügyesen háromszögekre bontanod, majd a szinusztétel és a koszinusztétel segítségével a hiányzó adatokat kiszámítanod. Könnyebb lesz a munkád, ha tervet készítesz, és a terv egyes pontjait követve haladsz előre. Sok sikert! Good luck! Buona fortuna!