Kamatoskamat-számítás II.

Napjainkban pénzügyi ismeretekre mindenkinek szüksége van a helyes döntések meghozatalához.
A Kálmán családnak van 550000 Ft-ja. Öt hónap múlva nyaralni mennek, addig azonban be szeretnék fektetni. Az egyik bank ajánlatát mutatja a táblázat. Számoljuk ki, mennyit kamatozik a pénzük 5 hónap alatt, ha ezt a bankot választják!
A táblázatban szereplő EBKM, az egységes betéti kamatlábmutató az egyes lekötött betétekre egy év alatt elérhető kamat mértéke. Eltérhet az éves kamattól, mert a lekötés nem mindig 1 évre szól, kiszámításakor pedig a felmerülő költségeket is figyelembe veszik.
5 hónapos lekötés nem szerepel a táblázatban, a 6 hónap már sok, tehát előbb 2 hónapra, majd 3 hónapra vagy fordítva tudják lekötni Kálmánék a pénzüket. Megkeressük az 550000 Ft-hoz tartozó éves kamatlábat, ez 2 hónapos futamidőnél 5,25% (5 egész 25 század százalék), amelyből a 2 hónapra jutó kamat 0,875%. 550000-nek a 0,875%-a 4813. A következő 3 hónapban ez a kamat is kamatozik 4,75/4=1,1875%-ot (egy egész 1875 tízezred százalékot). 554813-nak az 1,1875%-a 6588. Az összes kamat 5 hónap alatt 11401 Ft.
Jutka úgy dönt, hogy takarékoskodni kezd. A fizetéséből havi 20000 Ft-ot leköt a folyószámláján. A bank évi 4,8%-os kamatot ad, havi tőkésítéssel. Mennyi megtakarítása lesz 1 év múlva?
Számoljuk ki az 1 hónapra jutó kamatot! Ez 0,4%. Érdemes táblázatba foglalni az egyes hónapok elején és végén a megtakarítás összegét. Az 1. hónap elején lekötjük a 20000 Ft-ot, ez a hónap végén kamatozik. Minden további hónap elején az előző hónap végén meglévő összeghez hozzáadunk 20000 Ft-ot, és minden hónap végén az összes lekötött pénz kamatozik 0,4%-ot. Észreveheted, hogy a 12. hónap végén egy olyan mértani sorozat első 12 tagjának az összegét kapjuk, amelynek az első tagja $20000 \cdot 1,004$, a hányadosa 1,004. Az „es” „en” képletbe behelyettesítve megkapjuk, hogy 1 év alatt 246332 Ft gyűlik össze, amelyből a kamat 6332 Ft.
Az ilyen típusú takarékoskodás a gyűjtőjáradék: rendszeres időközönként azonos összeget fizetünk be, amely kamatozik a számlán. Az összegyűlt járadék kiszámítása történhet az előbbi módszerrel, de ha azonnal felismered ezt a feladattípust, a hozzá tartozó képletet megtalálod a függvénytáblázatban.
Endrét felvették az egyetemre, építészmérnök szakra. Kollégiumba viszont nem került be, ezért úgy döntött, hogy felveszi a diákhitelt. Számítsuk ki, hogy 8 félév elteltével mennyi lesz a visszafizetendő összeg, ha a kamat évi 8% és a hitel minden októberben, illetve márciusban 200000 Ft!
Készítsünk táblázatot! A kamat fél évre számítva 4%. Októberben Endre kap 200000 Ft-ot. Márciusra ez kamatozik 4%-ot, ekkor megérkezik a számlájára a következő 200000 Ft. Ugyanez ismétlődik minden tanévben. A 8. félév márciusában utoljára folyósítja a bank a kölcsönt. Ezen a napon a tartozás egy mértani sorozat első 8 tagjának az összege. Ha behelyettesítünk az ${S_n}$ képletbe, ez az összeg 1842845 lesz.
A diákhitelt a tanulmányok befejezése után vissza kell fizetni. Az első két évben elég csak a minimálbér 6%-át törleszteni havonta, de lehet többet is. Endre diplomázás után dolgozni kezd, és októberben megkezdi a hitel törlesztését. Nézzük meg, hogy 3 év alatt mennyivel csökken a hitel nagysága, ha a bruttó fizetése 200000 Ft, és a kamat lecsökkent évi 6%-ra!
Fél évig még csak kamatozik a felvett összeg, 3%-kal nő így a visszafizetendő hitel. Ezt jelöljük most A-val (nagy a-val). Nézzük meg, hogyan változik havonta a még meglévő hitel! A fizetés 6%-a 12000 Ft, ennyivel kevesebb lesz a fennálló tartozás minden hónapban. A megmaradt kölcsön pedig kamatozik tovább, havonta 0,5%-kal. Alakítsuk át a 36. törlesztés után kapott értéket! A zárójelben levő kifejezés egy olyan mértani sorozat első 36 tagjának az összege, amelyben ${a_1} = 1$ és $q = 1,005$. Elvégezzük a számítást, az eredmény 1788122. Tehát miközben Endre havi 12000 Ft-ot a hitel törlesztésére fordít 3 éven keresztül, a tartozás alig 110000 Ft-tal csökken. Ennek az az oka, hogy miközben törleszti a hitelt, a megmaradt rész kamatozik tovább.
A hitelfelvételnél nagyon körültekintőnek kell lenni. A meghirdetett kamat mellet további költségek is jelentkezhetnek. Ezeket is tartalmazza a teljes hiteldíjmutató, a THM. Ez százalékban mutatja, hogy az adott hitel felvétele után az adósnak egy év alatt a tőkén túl mekkora összeget kell visszafizetnie.
A matematika nélkülözhetetlen a helyes pénzügyi döntések meghozatalában, akár befektetésről, akár hitelfelvételről van szó.