Vegyes feladatok sorozatokra

Sok olyan problémával találkozhatsz, amelyeket a sorozatokra vonatkozó ismereteid segítségével tudsz megoldani. A feladatgyűjteményekben nincs odaírva a példákhoz, hogy melyik képletet kell alkalmazni, neked kell megtalálnod az odaillő módszert.
Egy baráti társaság 6 napos biciklitúrán vett részt. A túra első napján tekertek a legtöbbet, majd minden nap ugyanannyival csökkentették a távot. Az első három napon 210 km-t, a második három napon 120 km-t tettek meg összesen. Mennyit kerékpároztak az egyes napokon?
A szöveg alapján a naponta megtett távok számtani sorozatot alkotnak, mert a szomszédos számok különbsége állandó. Ha három egymást követő tag összegét ismerjük, a középsőt könnyen meg tudjuk határozni a számtani sorozat definíciója alapján. Kiszámoljuk a 2. tagot, és ugyanezzel a módszerrel az 5. tagot is. Azt kapjuk, hogy a 2. tag 70, az 5. tag 40. Ha a 2. taghoz hozzáadjuk a differencia 3-szorosát, megkapjuk az 5. tagot, innen a differencia –10. Az ${a_1} = {a_2} - d$, azaz 80. A naponta megtett utak: 80, 70, 60, 50, 40 és végül 30 km.
Egy háromszög a, b és c oldala különböző hosszúságú, a középső oldala $b = 15{\rm{ }}cm$. Tudjuk még, hogy $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ (bé per a egyenlő cé per bé), a kerülete pedig 47,5 cm. Mekkora a másik két oldala?
A háromszög oldalhosszúságai egy olyan sorozat első három tagjának tekinthetők, amelyben a szomszédos tagok hányadosa állandó. Ez pedig egy mértani sorozat. Ilyen esetben, amikor 3 szomszédos tag közül a középsőt ismerjük, az ${a_1} = \frac{{{a_2}}}{q}$ (a egy egyenlő a kettő per q) és az ${a_3} = {a_2} \cdot q$ összefüggéseket is használhatjuk. A kerület a 3 oldal összege. A kapott egyenlet, miután q-val szoroztunk, másodfokú lesz. A két megoldás 1,5 és kétharmad. Az első tag a második q-ad része, a 3. a q-szorosa. Mindkét hányadossal ugyanazt az eredményt kapjuk: a másik két oldal 10 cm és 22,5 cm hosszúságú. Ezt a feladatot mértani sorozat nélkül, kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszerrel is meg lehet oldani.
Réka és Péter 2 hetes nyári munkára jelentkeztek. A napi 6 órás munkáért Réka az 1. napon 2500 Ft-ot kap, majd, ha megfelelően dolgozik, minden nap 300 Ft-tal többet, mint az előző napon. Péter is 2500 Ft-tal kezd, de neki a következő napokon 10%-kal lesz több a fizetése, mint az előző napon. Melyikük fog többet keresni két hét – 10 munkanap – alatt?
Réka egyes napi bérei között a különbség állandó, ez számtani sorozat. Az 1. tag 2500, a differencia 300 és az első 10 tag összegét keressük. A megfelelő képlet a függvénytáblázatban vagy a tankönyvedben megtalálható. Kiszámoltuk, hogy Réka 38500 Ft-ot keres.
Péter a második naptól kezdve az előző napi fizetésének a 110%-át, vagyis 1,1-szeresét kapja, ez mértani sorozat. Az 1. elem 2500, a kvóciens 1,1 és az ${S_{10}}$-et kell kiszámolni. Itt a műveletek sorrendjére kell figyelni: először hatványozunk, majd, mivel a törtvonal zárójelet helyettesít, kiszámoljuk a tört számlálóját és nevezőjét. Az eredmény 39850, tehát Péter fizetése valamivel több lesz, mint Rékáé.
Kati egy 251 oldalas könyvet kapott a 10. születésnapjára. Még aznap elolvasott belőle 10 oldalt. Nagyon érdekesnek találta, ezért elhatározta, hogy mindennap 5 oldallal növelni fogja a napi adagot. Hányadik napon fejezi be a könyvet?
Az elolvasott oldalak száma számtani sorozatot alkot. Ha az első valahány tagot összeadjuk, 251-et vagy annál nagyobb számot kapunk, mert az utolsó napra nem biztos, hogy marad annyi oldal, amennyi következne. Az összeadott tagok számát, vagyis az n-et keressük.
Az összegképletben most az n az ismeretlen. Elvégezzük a műveleteket, felbontjuk a zárójeleket, összevonunk, szorzunk 2-vel, majd a kapott másodfokú egyenlőtlenséget nullára redukáljuk. Ha a nagyobb egyenlő helyett egyenlőt írunk, használhatjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét. A másodfokú egyenlőtlenség megoldását a másodfokú kifejezéshez tartozó függvény grafikonjáról olvashatjuk le. A sorozat tagjainak számát keressük, amely csak pozitív egész szám lehet. A negatív gyök tehát nem jó. A 8,6 sem egész szám, az első pozitív egész megoldás a 9. Kati a 9. napon fejezi be a könyvet.
Ha egy sorozatos feladatban a szomszédos tagok különbsége állandó, akkor a sorozat számtani, ha a szomszédos tagok hányadosa állandó, akkor mértani. Miután ezt eldöntötted, figyelmesen felírod az adatokat, megállapítod, hogy mit keresünk, és kiválasztod a megfelelő képletet. Sok sikert!