Legyen minden számnak szinusza és koszinusza!

A szinuszgörbe szót többször is halljuk a környezetünkben, és használjuk minden olyan esetben, amikor olyan görbét látunk, amelyik hasonlít a virtuóz műlesikláskor a hóba írt nyomvonalra. A lakásokban a váltóáram feszültsége szinuszosan változik, a rezgőmozgást szinuszgörbe írja le, az oszcilloszkópon megjelenő görbe szinuszgörbe, a normál zenei A hang 440 Hz (440 herc) frekvenciájú szinuszgörbeként jelenik meg a képernyőn. De mi is ez a rejtélyes szinuszgörbe? A szinuszgörbe a szinuszfüggvény grafikonja. De mi az a szinuszfüggvény? Járjunk utána!
Tudjuk, hogy a hegyesszögeknek van szinusza, ezt a derékszögű háromszög oldalainak arányaként értelmeztük.
A szögeket radiánban is mérhetjük, ezért azt is mondhatjuk, hogy a 0 és a $\frac{\pi }{2}$ (pí per kettő) közötti valós számoknak van szinusza.
Tehát a 0 és a $\frac{\pi }{2}$ közötti valós számokra már értelmeztük is az $x \mapsto \sin x$ (x nyíl szinusz x) függvényt, a grafikonját is meg tudjuk rajzolni. Hogyan tovább?
Tudjuk, hogy ha az átfogó hossza 1 egység, akkor az α (alfa) szög szinusza éppen a szöggel szemközti befogó hosszával egyenlő. Ha most figyelmesen megnézed az 1 egység sugarú körön mozgó P pont második koordinátáját, akkor láthatod, hogy az mindig az α szög szinuszával egyenlő. Ez az ábra azt mutatja, hogy $\sin {35,5^ \circ } \approx 0,5807$ (szinusz 35,5 fok közelítőleg nulla egész 5807 tízezreddel egyenlő).
Fogadjuk el, hogy a körön mozgó P pont második koordinátája nemcsak a hegyesszögek esetében, hanem mindig az $\alpha $ szög szinuszával egyenlő! Ezzel egy definíciót adtunk meg, amelynek értelmében mindegyik szögnek lesz szinusza. Ezek szerint például $\sin {150^ \circ } = 0,5$ (szinusz 150 fok az 0,5), $\sin {270^ \circ } = - 1$ (szinusz 270 fok az mínusz 1), $\sin {330^ \circ } = - 0,5$ (szinusz 330 fok pedig mínusz 0,5) lesz.
A forgásszögek lehetnek 0 és ${360^ \circ }$ közöttiek, de lehetnek nagyobbak, sőt negatívak is. Például $\sin {390^ \circ } = \sin {30^ \circ }$, mert a ${390^ \circ }$ egy teljes fordulatot és még ${30^ \circ }$-ot jelent. Emiatt $\sin {390^ \circ } = 0,5$. Hasonlóan: $\sin \left( { - {{150}^ \circ }} \right) = - 0,5$.
Készítsük el a szinuszfüggvény grafikonját! Az x tengelyre a szögeket mérjük fel radiánban, az y tengelyre pedig a szögek szinuszát. A megrajzolt végtelen görbét nevezik szinuszgörbének.
Melyek a szinuszfüggvény legfontosabb tulajdonságai? Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a $\left[ { - 1;1} \right]$ zárt intervallum. Periodikus függvény, mert az x tengellyel párhuzamosan eltolhatjuk úgy a grafikont, hogy az önmagába menjen át. A legrövidebb eltolás hossza $2\pi $, ezt hívjuk a függvény periódusának. A függvény zérushelyei a $\pi $ egész számú többszörösei. A legnagyobb függvényérték az 1, a legkisebb pedig a –1. A maximumhelyek és a minimumhelyek két-két zérushely között középen, váltakozva következnek.
Nemcsak szinusza lehet minden valós számnak, de koszinusza is. Ehhez ismét vissza kell lépnünk a derékszögű háromszöghöz és az 1 egység sugarú körhöz.
Ha az átfogó hossza 1 egység, akkor az $\alpha $ szög koszinusza éppen a szög melletti befogó hosszával egyenlő. Ha most figyelmesen nézed az 1 egység sugarú körön mozgó P pont első koordinátáját, akkor láthatod, hogy az mindig az $\alpha $ szög koszinuszával egyenlő.
A 0 és a $\frac{\pi }{2}$ (pí per kettő) közötti valós számokra tehát értelmeztük az $x \mapsto \cos x$ (x nyíl koszinusz x) függvényt, a grafikonját is meg tudjuk rajzolni.
A többi valós szám esetében azt mondjuk, hogy az 1 egység sugarú körön mozgó P pont első koordinátája legyen az α szög koszinusza. Ezzel a definícióval minden szög, minden valós szám koszinuszát értelmeztük. Például $\cos {120^ \circ } = - 0,5$ (koszinusz 120 fok az mínusz 0,5), $\cos {315^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ (koszinusz 315 fok az négyzetgyök 2 per 2). Ugyanezeket radiánban megadott szögekkel is felírhatjuk: $\cos \frac{{2\pi }}{3} = - 0,5$, $\cos \frac{{7\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Ha elkészítjük a valós számok halmazán értelmezett koszinuszfüggvény grafikonját, akkor észrevehetjük, hogy ugyanaz a görbe szerepel most is, mint a szinuszfüggvénynél, ha azt a koordináta-rendszerben az x tengellyel párhuzamosan negatív irányban eltoljuk $\frac{\pi }{2}$-vel (pí per 2-vel).
Nincs több rejtély! Most már te is tudod, mi az a szinuszgörbe. Sőt, megismerkedtél két új függvénnyel is: a szinuszfüggvénnyel és a koszinuszfüggvénnyel.